Cosa fa$\Bbb Z/2 \Bbb Z[X]$e$\Bbb Z/3 \Bbb Z[X]$significare? (algebra astratta)

Question

Qualcuno può dire cosa significa questo:$\Bbb Z/2 \Bbb Z[X]$e$\Bbb Z/3 \Bbb Z[X]$

lo capisco$\Bbb Z/2 \Bbb Z$indica i numeri interi mod$2$, ma non capisco l'ultima parte. So che$\Bbb Z[x]$significa un polinomio, ma come posso portare mod a un polinomio?

Answer 1

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[x]$significa l'insieme (anello) di tutti i polinomi$P(x)$tale che i coefficienti provengano da$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. cioè,$$ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[x] := \{ P(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n -1} + \cdots a_0 : a_i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \} $$ PER ESEMPIO: $~x^2 + 2x + 1$in$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} [x]$è$x^2 + 1$.

Answer 2

Dovrebbe essere piuttosto$(\mathbb Z/2\mathbb Z)[X]$che è l'anello dei polinomi con coefficiente in$\mathbb Z/2\mathbb Z$, cioè per esempio$$1+X+X^2\quad \text{or}\quad X+X^8.$$

Lo stesso per$(\mathbb Z/3\mathbb Z)[X]$, è l'anello dei polinomi con coefficienti in$\mathbb Z/3\mathbb Z$.

Answer 3

Per qualsiasi anello,$\mathcal R$, puoi dimostrarlo$\mathcal R[x]:=\{\sum_{i=0}^nr_ix^i: r_i\in \mathcal R\}$, l'insieme dei polinomi in$x$con coefficienti in$\mathcal R$, forma anche un anello, con l'addizione polinomiale e la moltiplicazione come operazioni.

Ora basta impostare$\mathcal R=\Bbb Z/n\Bbb Z$. Ottieni l'anello di polinomi i cui coefficienti sono tutti presenti$\{0,1,2,\dots,n-1\}$.