Cosa significa "antisimmetrico" per la mappa aggiunta di un'algebra di Lie?

Aug 24 2020

Un teorema sulle algebre di Lie dice che:

Correggi un gruppo di bugie$G$, dotato di una metrica riemanniana invariante a sinistra$g$, permettere$\nabla$essere il collegamento di Levi Civita. Sia l'algebra di Lie di$G$essere$\mathfrak{g}$allora i seguenti sono equivalenti:

  1. La mappa aggiuntiva di$\mathfrak{g}$è tale che$ad(X)$è antisimmetrico$\forall X\in\mathfrak{g}$
  2. L'unico parametro sottogruppi di$G$sono appunto la (Levi-Civita) geodetica di$G$

Ora la mia domanda non riguarda il teorema, ma il significato della prima condizione. Alla mia comprensione$ad$è una mappa lineare$X\in\mathfrak{g}\mapsto ad(\mathfrak{g})\in \mathfrak{gl}(\mathfrak{g})\cong Hom(\mathfrak{g},\mathfrak{g})$dove$ad(X): Y\in\mathfrak{g}\mapsto [X,Y]\in \mathfrak{g}$. Quindi è una mappa lineare, e non multivicina: come può essere antisimmetrica? Cosa intendiamo con questo termine qui? Cosa mi manca?

Grazie in anticipo

Risposte

1 TsemoAristide Aug 24 2020 at 02:38

Credo che esista un prodotto scalare invariante a sinistra differenziabile sottostante, mezzi antisimmetrici$\langle ad_x(y),z\rangle+\langle y,ad_x(z)\rangle=0$.

Se non parlano della metrica e il gruppo è semi-semplice, prendi la forma Killing.