Cosa significa veramente "discreto", in un inglese semplice?
Qualcuno può spiegare cosa significa veramente una funzione "discreta", in senso filosofico, in un inglese semplice?
Come ipotesi, discreto significa che ci sono solo punti con valori noti e niente in mezzo? E se è così, è possibile sapere veramente cosa c'è tra i punti in qualche modo?
Voglio dire, l'interpolazione lineare significherebbe "confondere" ovviamente, semplificando una curva in una serie di linee. Forse l'interpolazione polinomiale?
C'è un modo per rappresentare accuratamente al 100% ciò che andrebbe tra i punti?
Vieni a dirlo, non tutti i valori calcolati sono "discreti"? Ad esempio, quando la calcolatrice grafica, o desmos.com o qualsiasi altra cosa, disegna un grafico, non sta effettivamente tracciando una serie di valori di output di un'equazione, solo con incrementi abbastanza piccoli da non poter vedere gli spazi vuoti?
Quindi quello che sto chiedendo è, c'è effettivamente una differenza più profonda e fondamentale tra una funzione discreta come
y_0 = 10
y_(i+1) = C/2 + y_i
contro una funzione "normale" come
y = x
o è solo una questione di modelli simili rappresentati in modo diverso dal computer? Bc entrambe le funzioni possono durare all'infinito. E anche se il primo progredisce in "passi" discreti, lo schema che rappresenta deve esistere su scala minore, forse non "catturato" dalla "lente" di questa equazione? Idk.
Risposte
Un insieme discreto in uno spazio metrico o altro spazio topologico, come la linea o il piano o $3$-spazio euclideo dimensionale, è uno spazio in cui ogni punto è (topologicamente) isolato, e ciò significa che ogni punto dell'insieme ha un vicinato aperto che non contiene altri punti dell'insieme.
Ad esempio, l'insieme di numeri interi $\{0,\pm1,\pm2,\pm3,\ldots\}$ è discreto perché circa ogni numero intero, ad esempio $5,$ puoi trovare un intervallo aperto, diciamo $(5-0.1,5+0.1),$ che non contiene altri numeri interi.
E il set $\left\{ \tfrac 1 n : n=1,2,3,\ldots\right\}$ è discreto, ma se aggiungi il punto limite $0,$ ottenere $\left\{ \tfrac 1 n : n=1,2,3,\ldots\right\} \cup\{0\},$questo non è discreto perché$0$è un punto limite piuttosto che un punto isolato. In altre parole, non importa quanto piccolo sia un intervallo aperto che consideri che contiene$0,$ quell'intervallo contiene anche altri membri dell'insieme.
Una distribuzione di probabilità discreta è costituita interamente da masse puntiformi. Quindi se una variabile casuale (capitale)$X$ ha la proprietà che $\sum_x \Pr(X=x)=1,$ dove la somma è su tutti i valori (minuscolo) $x$ quella (capitale) $X$ potrebbe essere uguale a.
Esistono molti tipi diversi di infinito. Il più piccolo infinito sono i numeri naturali,$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots \}$. La chiamiamo dimensione$\omega$.
Molti set hanno le stesse dimensioni di $\mathbb{N}$. Ad esempio, anche l'insieme dei numeri pari ha dimensioni$\omega$, o l'insieme dei numeri primi, o quello delle coppie di numeri.
Intuitivamente, potresti pensare che questo non abbia senso. Non ci sono la metà dei numeri pari dei numeri naturali? Non ci sono molte più coppie di due numeri?
Matematicamente, due set hanno la stessa dimensione, se puoi accoppiare i loro elementi in modo che nessun elemento di nessuno dei due set venga lasciato solo. In altre parole, se prendi un set infinito e puoi contare i suoi elementi, come$1, 2, 3, \dots$e assicurati che ogni elemento appaia a un certo punto in questo conteggio, quindi la dimensione di questo set è $\omega$.
Chiamiamo discreto (anche numerabile ) un insieme che non è più grande di$\mathbb{N}$ - i suoi elementi possono essere contati.
Esistono, tuttavia, infiniti maggiori di $\omega$. Un tale esempio è l'insieme dei numeri reali. È dimostrato che, comunque si cerchi di abbinare i numeri reali con i naturali, ci saranno sempre numeri reali esclusi. In quanto tale, la linea reale non è discreta.
Gli esempi che hai con l'insieme di punti che hai è complicato. Esistono molti insiemi discreti diversi.
Supponiamo di lavorare con numeri interi. Quindi, abbiamo solo numeri interi e non c'è niente tra di loro.
Tuttavia, ci sono numeri razionali: frazioni. Anche le frazioni sono discrete, poiché sono essenzialmente coppie di numeri interi: numeratore e denominatore. Tuttavia, tra due frazioni qualsiasi ci sono più frazioni, in effetti un numero infinito di esse. Tuttavia, i numeri irrazionali semplicemente non ci sono.
Se sei interessato a ciò che accade sull'intera linea reale, anche in punti irrazionali, allora a tutti gli effetti, non stai più lavorando su un insieme discreto.
Quando raccogliamo dati, i dati sono discreti. Abbiamo un numero finito di osservazioni. Potremmo quindi adattare quei dati a una curva continua per modellare quei dati. Vale la pena tenere a mente che TUTTI i dati contengono errori. È possibile sapere dove si trovano realmente i punti? Non solo i punti interpolati, nessuno dei punti.
La matematica funziona in un mondo idealizzato che non è il mondo reale. Stiamo lavorando con oggetti puramente matematici. Le curve sono continue a causa di come abbiamo definito la curva. Per ogni x in un intervallo esiste una y. Sia che scegliamo di calcolare esplicitamente quei valori y o meno, sono lì. Che il software grafico rappresenti solo un numero finito di punti, il software è una simulazione di un mondo matematico più profondo.