Costante di separazione dalla separazione delle variabili in PDE

Aug 17 2020

Sto lavorando a un libro di testo (Richard Haberman quarta edizione) sull'equazione del calore come esempio di equazioni alle derivate parziali applicate. Non ho familiarità con il concetto di costante di separazione e continua a emergere nelle derivazioni. Perdonami, sono una laureata in neuroscienze, non una laureata in matematica.

Ad esempio, sono al capitolo due, stiamo discutendo dell'equazione di Laplace per il flusso di calore in una superficie rettangolare. Ci viene data questa equazione$$\frac{1}{h}\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}=-\frac{1}{\phi}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\lambda, $$

dove \lambda è l'autovalore o la costante di separazione di questo gradiente. Comprendo un autovalore nel contesto dell'algebra lineare (che capisco abbastanza bene) e sono disposto ad accettare che le funzioni siano vettori indicizzati all'infinito, ma sono ancora confuso su come posso semplicemente estrarre quella costante di separazione dall'aria. Quali condizioni devono essere soddisfatte per fare questa ipotesi?

Modifica: ecco la pagina nel mio testo da cui è tratta, forse ci sono informazioni rilevanti che non includo.

Risposte

3 ArcticChar Aug 17 2020 at 11:48

Il punto è che

$$f(x) = \frac{1}{h }\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}$$

è indipendente da$y$, mentre

$$g(y)=-\frac{1}{\phi}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} $$

è indipendente da$x$. Quindi sei in una situazione in cui

$$ f(x) = g(y), \ \ \ \text{for all }x, y.$$

Questo implica che$f, g$sono entrambe funzioni costanti. Ad esempio, scegli$y=0$, poi$f(x) = g(0)$per tutti$x$. Così$f(x)$è una funzione costante. Simile per$g$.

così$f(x) = g(y) = \lambda$.