Costante di tempo del sistema del 2° ordine
Perché non esiste una definizione generale di costante di tempo per i sistemi di secondo ordine o superiore, mentre i sistemi di primo ordine hanno una definizione corretta di costante di tempo.
la costante di tempo è definita per tutti i sistemi indipendentemente dai loro ordini o è definita solo per i sistemi di primo ordine?
Risposte
Perché non esiste una definizione generale di costante di tempo per i sistemi di secondo ordine o superiore, mentre i sistemi di primo ordine hanno una definizione corretta di costante di tempo.
Solo il filtro di secondo ordine sovrasmorzato ha una costante di tempo utile. Per il caso sottosmorzato (quando viene fornito un ingresso a gradino) produce un'onda sinusoidale in decadimento, quindi la sua risposta nel dominio del tempo è meglio definita dalla frequenza naturale smorzata delle oscillazioni ( \$\omega_d\$) e zeta (il rapporto di smorzamento, \$\zeta\$).
Le formule del filtro passa-basso per una frequenza normalizzata di 1 radiante al secondo sono: -
Per ogni categoria, la prima formula è la funzione di trasferimento nel dominio della frequenza e il modo in cui si trasferisce nel dominio del tempo tramite le tabelle di trasformazione di Laplace.
Si noti che solo lo scenario con smorzamento eccessivo ha costanti di tempo associate.
Le proprietà delle funzioni di trasferimento sono meglio descritte e caratterizzate dalle posizioni dei poli e degli zeri nel dominio della frequenza. Ciò vale principalmente per le applicazioni di filtraggio. Nei sistemi di controllo, molto spesso facciamo uso anche delle caratteristiche nel dominio del tempo (risposta al gradino).
Per un sistema del 1° ordine esiste un solo polo reale che - nel dominio del tempo - corrisponde a una risposta al gradino esponenziale. Solo per tale funzione possiamo definire una singola costante di tempo che descrive la velocità con cui la risposta al gradino si avvicina al suo valore finale.
Per i sistemi del 2° ordine esistono diverse funzioni di trasferimento che consentono di definire due diversi fattori (dimensione: tempo). Tale interpretazione nel dominio del tempo (risposta al gradino) è importante, in particolare, per i sistemi di controllo (e meno importante per i filtri, ad esempio). Questi fattori (costanti di tempo) descrivono (a) la forma e (b) il tempo necessario per raggiungere lo stato finale della risposta al gradino.
Esempi (controllori): P-T2, D-T2, I-T1, PD-T1, PI, PID,....
Esempio selezionato (PD-T1): H(s)=K(1+sT2)/(1+sT1).... con T2>T1.
Risposta al gradino: l'asintoto in t=0 attraversa l'asse del tempo in t=T1. Il valore in t=0 è g(t=0)=K*T2/T1.