Costruire un isomorfismo tra due campi finiti di ordine 25.

Question

I campi in questione sono \ begin {equation *} \ mathbb {F} _5 [x] / (x ^ 2 + x + 1), \ \ mathbb {F} _5 (\ sqrt {2}). \ end {equation *} So che c'è un isomorfismo tra i campi sopra in quanto sono campi finiti dello stesso ordine. La mia idea era di trovare un generatore del gruppo di unità di ogni campo e costruire un isomorfismo mappando un generatore all'altro.

l'ho trovato $x+2$ genera $(\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1))^{\times}$ e $1+\sqrt{2}$ genera $\mathbb{F}_5(\sqrt{2})^{\times}.$ Quindi, chiamando la mappa $\varphi$, Io mando $x+2$ per $1+\sqrt{2}$ che dà, dopo aver riorganizzato, $\varphi(x)=\sqrt{2}+4$ dove ho anche usato che qualsiasi isomorfismo deve fissare il campo base $\mathbb{F}_5$. Il problema è che la mappa\begin{align*} \varphi:&\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1)\longrightarrow \mathbb{F}_5(\sqrt{2})\\ &a+bx \mapsto a+4b+b\sqrt{2} \end{align*} non soddisfa $\varphi(fg)=\varphi(f)\varphi(g)$ per tutti $f,g \in \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1).$ Ciò è dovuto all'errato approccio generale?

Answer 1

Lo notiamo $\omega$, una primitiva terza radice di unità, ha come polinomio minimo $f(x)=x^2+x+1 \in \mathbb{F}_5[x]$. Come$\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2},$ questo dà il seguente isomorfismo $\varphi:$ \begin{align*} \varphi: \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1) &\longrightarrow \mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})\\ g(x)&\longmapsto g(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}). \end{align*} Tuttavia, $-3=2 \in \mathbb{F}_5$ e $\mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})=\mathbb{F}_5(\sqrt{-3})$quindi \ begin {equation *} \ mathbb {F} _5 [x] / (x ^ 2 + x + 1) \ cong \ mathbb {F} _5 (\ frac {-1+ \ sqrt {-3}} {2 }) = \ mathbb {F} _5 (\ sqrt {2}). \ end {equation *}