Creare una matrice $M(c)=N(c)-L(c)$ positivo definito scegliendo uno scalare $c$, dove $N(c)$ è semi-definito positivo

Question

Permettere $P\in\mathbb{R}^{n\times m}$ con $n>m$ e $Q\in\mathbb{R}^{n\times k}$ con $n>k$ tale che $P^T P = I_m$ e $Q^T Q = I_k$. Inoltre, supponi$\text{ker}P^T \cap \text{ker}Q^T = \emptyset$. Quindi, prova la seguente affermazione:

Lì esiste $c>1$ tale che la matrice $$M = (I_n - cQQ^T) PP^T (I_n - cQQ^T) - (I_n - cQQ^T)$$è definito positivo. (Questo è,$v^T M v > 0$ per tutti $v\in\mathbb{R}^n$ tale che $v\neq 0$ o, equivalentemente, tutti gli autovalori di $M$ sono nel piano semicomplesso destro aperto.)

L'affermazione di cui sopra è vera o falsa? Se vero, come dimostrarlo?

Nota 1. La matrice$(I_n - cQQ^T) PP^T (I_n - cQQ^T)$ è semidefinito positivo per tutti $c$ perché è sotto forma di $H^T H$.

Nota 2. La matrice$(I_n - cQQ^T)$ è semi-definito positivo per $c=1$ e positivo definito per $0\leq c <1$. Ma poiché consideriamo$c>1$, risulta essere una matrice non definita, il che significa che ha autovalori sia positivi che negativi.

Answer 1

Permettere $P=w=Q$ con $\|w\|=1$, $c>1$, e lascia $v\cdot w=0$, $v\ne0$. Poi$$Mv=(I-cww^T)ww^T(I-cww^T)v-(I-cww^T)v=-v$$ $$\therefore v^TMv<0$$

Più in generale, se $v\in\ker P^T\cap\ker Q^T$, poi $v^TMv\le0$.

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Rispondi alla domanda modificata con $\ker P^T\cap\ker Q^T=\{0\}$.

Permettere $m=1$, $n>2$, permettere $P=w$ con $\|w\|=1$; permettere$Q$ essere tale $Q^Tw=0$. Allora, come prima$Mw=0$.