criterio 'set-size' per l'iniettività in una categoria abeliana
Per rilevare un oggetto iniettivo in$R-\mathbf{Mod}$, è sufficiente testare solo una raccolta di oggetti di dimensioni stabilite , secondo il criterio di Baer. Come lo facciamo per una categoria abeliana arbitraria? Il progetto Stacks afferma che per qualsiasi categoria abeliana con un numero sufficiente di iniettivi, possiamo trovare una piccola sottocategoria completa abeliana con un numero sufficiente di iniettivi, inclusa la raccolta di oggetti di dimensioni impostate desiderata, in modo tale che il funtore di inclusione sia esatto e conservi e rifletta le iniettive. Ho escogitato un modo per raggiungere questo obiettivo senza trovare il criterio generale di iniettività di dimensioni impostate. La categoria desiderata viene solitamente costruita facendo passaggi intermedi$X_0, X_1, \ldots$e prendendo il sindacato. Per ogni passo$X_n$, possiamo aggiungere i testimoni per la non iniettività di oggetti non iniettivi di$X_n$al passo successivo$X_{n + 1}$. A parte questo, esiste un criterio generale di iniettività di dimensioni impostate? in modo che potessimo semplicemente includerli all'inizio senza aggiungere i testimoni.
Risposte
In generale non esiste un insieme di oggetti sufficiente per testare l'iniettività.
Permettere$\mathcal{C}$essere la categoria dei funtori dagli ordinali ai gruppi abeliani che sono diversi da zero solo su un insieme di ordinali. Cioè, un oggetto$F$assegna un gruppo abeliano$F(\alpha)$a ciascun ordinale$\alpha$e un omomorfismo$f_{\alpha,\beta}:F(\alpha)\to F(\beta)$per ogni coppia di ordinali$\alpha\leq\beta$tale che$f_{\beta,\gamma}f_{\alpha,\beta}=f_{\alpha,\gamma}$Ogni volta che$\alpha\leq\beta\leq\gamma$, e tale che ce ne sia$\alpha$tale che$\beta\geq\alpha\Rightarrow F(\beta)=0$. E un morfismo$F\to G$è una raccolta di omomorfismi$F(\alpha)\to G(\alpha)$in modo tale che i quadrati evidenti commutino.
Quindi$\mathcal{C}$è una categoria abeliana (localmente piccola a causa della restrizione su quando$F(\alpha)\neq0$).
È facile vedere che il funtore$S_{\alpha}$, dove$S_{\alpha}(\alpha)=\mathbb{Z}$e$S_{\alpha}(\beta)=0$per$\beta\neq\alpha$, non è iniettiva. Ma se scegli un set qualsiasi$\mathcal{F}$di oggetti, allora c'è qualche ordinale$\alpha$tale che$F(\beta)=0$per ogni$F\in\mathcal{F}$e ogni$\beta\geq\alpha$. Quindi non ci sono morfismi diversi da zero$F\to S_{\alpha}$per$F\in\mathcal{F}$, e quindi il fatto che$S_{\alpha}$is not injective non può essere rilevato utilizzando solo gli oggetti di$\mathcal{F}$.
Dopo aver pubblicato l'esempio sopra, mi sono ricordato di aver sentito parlare di alcuni risultati correlati piuttosto interessanti che coinvolgono categorie meno artificiose di quella sopra.
Segue dal Lemma 2.5 in questo recente articolo di Šaroch e Trlifaj che if$R$è un anello non perfetto, allora è indipendente da ZFC (i soliti assiomi della teoria degli insiemi) sia nella categoria di$R$-modules c'è un insieme di epimorfismi che bastano a testare la proiettività. [In realtà, questo è stato dimostrato in un documento molto precedente di Trlifaj, ma l'affermazione nel documento a cui ho collegato è meno tecnica.]
Ciò significa che è indipendente da ZFC se la categoria opposta della categoria dei gruppi abeliani risponda alla domanda nell'OP!