Curvatura dello spazio vicino a un buco nero
(I teorici rigorosi dovranno perdonare le mie frasi su questa domanda, sono nuovo in GR e la maggior parte della mia formazione in fisica è in meccanica quantistica)
Nella geometria non euclidea, possiamo parlare di uno spazio sferico come in uno spazio intrinsecamente curvo. In uno spazio sferico, le linee "parallele" convergono in un punto. Ho letto su Wikipedia che "La topologia dell'orizzonte degli eventi di un buco nero in equilibrio è sempre sferica".
È un'affermazione accurata affermare che lo spazio attorno a un buco nero è sferico e quindi la convergenza di "linee parallele" si incontra ad un certo punto all'interno dell'orizzonte degli eventi? Se non è così, possiamo persino classificare lo spazio attorno a una singolarità come iperbolico, sferico o qualcos'altro?
Collegamento sottostante:
https://en.wikipedia.org/wiki/Black_hole#Event_horizon
Risposte
Non credo che sarebbe corretto descrivere lo spaziotempo vicino a un buco nero come "sferico". Per prima cosa, la curvatura dello spazio cambia a seconda di quanto sei vicino al buco nero. Per una sfera, la curvatura è una costante e non varia con la posizione. Inoltre, è necessario più di un singolo numero reale per specificare la curvatura dello spazio-tempo con dimensioni maggiori di 2. (Questo perché potresti avere uno spazio in cui gli angoli di un triangolo orientati in una direzione si sommano fino a meno di 180 gradi , ma gli angoli di un triangolo orientato in una direzione diversa si sommano fino a più di 180 gradi.) Inoltre, il campo gravitazionale del buco nero dipende in gran parte dal fatto che lo spaziotempo è curvo, non solo dalla curvatura spaziale.
Probabilmente potresti ancora classificare la curvatura dello spaziotempo in base ai segni di varie componenti del tensore di curvatura, ma la classificazione sarebbe più complicata di sferica vs. piatta vs. iperbolica.
Ho letto su Wikipedia che "La topologia dell'orizzonte degli eventi di un buco nero in equilibrio è sempre sferica".
Questa risposta chiarisce cosa significa questa affermazione. Significa che se iniziamo con un buco nero nello spaziotempo 4d, quindi consideriamo l'orizzonte come una varietà 3d di per sé, questa varietà ha la topologia$S^2\times \mathbb{R}$, dove $S^2$ è una doppia sfera (la superficie di una palla) e $\mathbb{R}$è una linea. È un'affermazione sulla topologia, non sulla geometria. In particolare, l'affermazione non dice (quasi) nulla sulle geodetiche (o linee parallele).
A proposito, l'affermazione è specifica per i buchi neri nello spaziotempo 4d. Nello spaziotempo 5d, un buco nero può avere un orizzonte degli eventi con topologia non sferica.
Esempio
Considera la metrica di Schwarzschild nello spaziotempo 4d. L'elemento di linea per le linee del mondo simili allo spazio è$$ ds^2 = -A(r) dt^2 + \frac{dr^2}{A(r)}+r^2d\Omega^2 \tag{1} $$ dove $A(r)$va a zero all'orizzonte. La notazione$d\Omega^2$ è un'abbreviazione per la parte con coordinate sferiche: senza il fattore di $A$, la combinazione ${dr^2}+r^2d\Omega^2$sarebbe l'elemento di linea dello spazio euclideo 3d piatto in coordinate sferiche. Qualsiasi valore fisso di$r$definisce una sottovarietà 3d dello spaziotempo 4d. Se$A(r)\neq 0$, la metrica indotta su questa varietà è $$ ds^2 = -A(r) dt^2 +r^2d\Omega^2 \tag{2} $$ dove ora $r$ e $A(r)$sono costanti. Questa è la metrica standard su$S^2\times\mathbb{R}$, dove il fattore $\mathbb{R}$ rappresenta la coordinata extra $t$. All'orizzonte, abbiamo$A(r)=0$e l'equazione (1) non ha senso lì. Il collettore liscio ha ancora senso lì, ma i componenti della metrica no. Possiamo affrontare questo problema in due modi:
Prendere $r$essere arbitrariamente vicino a questo valore. È abbastanza buono per vedere qual è la topologia di$A(r)=0$molteplice sarà. L'equazione (1) dice che il file$dt^2$scompare all'orizzonte, il che corrisponde al fatto che l'orizzonte è un'ipersuperficie nulla : spostamenti in$t$-direzione sono simili alla luce (hanno lunghezza zero).
Ancora meglio, possiamo usare un sistema di coordinate diverso in modo che la metrica 4d sia ben definita all'orizzonte. Nelle coordinate di Kerr-Schild , la metrica di Schwarzschild ha la forma$$ ds^2 = -dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2 + V(r)(dt+dr)^2 \tag{3} $$ dove $V(r)$ è ben definito ovunque tranne che in $r=0$. L'orizzonte corrisponde a$V(r)=1$, dove il $dt^2$termine scompare. Ambientazione$r$ uguale a questo valore speciale dà la metrica indotta $$ ds^2 = r^2d\Omega^2. \tag{4} $$ Questa è la metrica standard su $S^2$, ma la topologia lo è effettivamente $S^2\times\mathbb{R}$, dove il $\mathbb{R}$ factor rappresenta il $t$-coordinata. Non c'è$dt^2$ termine in (4) perché l'orizzonte è un'ipersuperficie nulla: spostamenti in $t$-direzione hanno lunghezza zero. Questa è la stessa conclusione a cui siamo giunti prima, ma ora l'abbiamo raggiunta più direttamente perché la metrica (3) è ben definita all'orizzonte.