Dato$a,b\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$e$b>\frac{a^4}{a^2+1}$, dimostrare$b\geq a^2$
Dato che$$ a,b \in \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}$$e$$b> \frac{a^4}{a^2+1}$$Come posso provare$b\geq a^2$dal momento che sto cercando tutti i possibili valori di$(a,b)$(e in realtà so tutto anche se con una forza bruta)?
Finora posso andare alla forma canonica della disuguaglianza originale è questa
$$b> a^2-1+ \frac{1}{a^2+1}.$$
Qualsiasi aiuto sarà molto apprezzato :)
PS: l'ho già risolto come volevo e ho visto anche i miei errori. Grazie a tutti coloro che mi hanno aiutato e che hanno modificato il mio problema, in particolare a @quasi. Sono COSÌ soddisfatto poiché in realtà fa parte di un problema probabilistico più intricato. So che è un po' ingiusto, ma sono più a mio agio con la mia soluzione e la metto sotto...
Risposte
Usiamo la contraddizione. Supponiamo$b\leq a^{2}-1$.
$b\leq a^{2}-1$
$b(a^{2}+1)\leq (a^{2}-1)(a^{2}+1)$
$b\leq \frac{a^{4}-1}{a^{2}+1}$
Contraddicendo$b>\frac{a^{4}}{a^{2}+1}$
Come notato nei commenti, non puoi provare$b > a^2$poiché per il caso$a=b=1$, la disuguaglianza$$b > \frac{a^4}{a^2+1}$$vale solo la disuguaglianza$b > a^2$non riesce.
Ma per dimostrare$b\ge a^2$vale per tutti i casi, possiamo argomentare come segue . . . \begin{align*} &b > \frac{a^4}{a^2+1} \\[4pt] \implica\;& b > \frac{a^4-1}{a^2+1} \\[4pt] \implica\;& b > \frac{(a^2+1)(a^2-1)}{a^2+1} \\[4pt] \implica\;& b > a ^2-1 \\[4pt] \implica\;& b \ge (a^2-1)+1\;\;\;\;\text{[da$b$e$a^2-1$sono entrambi interi]} \\[4pt] \implica\;& b \ge a^2 \\[4pt] \end{align*}
Permettere$A=\dfrac{a^4}{a^2+1}$.$$A=\dfrac{a^4}{a^2+1}<\dfrac{a^4}{a^2}=a^2 \text{ and }b>A$$Quindi devi dimostrarlo$b\notin (A,a^2)$.
$a^2$è un numero intero e$a^2-A=a^2-\dfrac{a^4}{a^2+1}=\dfrac{a^2}{a^2+1}<1$. Così l'intervallo$(A,a^2)$non può contenere un numero intero e$b\notin (A,a^2)$. Così$b\geq a^2$.
Finalmente ho capito come. Ecco come l'ho fatto (visto che so già come risolvere, non ci ho messo le parole).
$$ b > \frac {a^4}{a^2 +1}$$
$$\frac {a^4}{a^2 +1} = a^2 - 1 + \frac {1}{a^2 +1}$$
$$b > a^2 - 1 + \frac {1}{a^2 +1}$$
$$b > a^2 - 1 + \frac {1}{a^2 +1} > a^2 - 1$$
$$b > a^2 - 1$$
$$b \geq a^2 - 1 +1$$
$$b \geq a^2$$.