Definizione definita positiva

Question

Sto guardando le note su http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~s.settepanella/teachingfile/Calculus/Calculus1/pagine/lecture8.pdf.

Dice che quanto segue è equivalente per un simmetrico $H$:

(1) $H$ è definito positivo.

(2) $x^THx > 0$

(3) $\lambda_i(H) > 0$

(4) $\det(H) > 0$ ! ??????

(5) Entrate diagonali di $H_{ii}$ sono positivi! ?????

(4) e (5) non sembrano appartenere. (4) è una condizione necessaria per$H$essere definito positivo, ma non sufficiente. Considera un$2 \times 2$matrice con 2 autovalori negativi. La matrice non è definita positiva ma ha un determinante positivo. In realtà non ho mai sentito parlare di (5) prima, a meno che non stiamo parlando di matrice diagonale. Non è sbagliato anche questo?

Answer 1

(4) è falso. Per un controesempio considera$H = -I$ dove $I$ è il $2\times 2$matrice identità. Quindi per qualsiasi diverso da zero$x$, noi abbiamo $x^T H x = -x^T x < 0$, così $H$ non è definito positivo.

(5) è anche falso. Ritenere$H = \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$, che ha determinante $-3$. Ciò significa che uno dei suoi autovalori è negativo; in particolare,$\lambda = -1$ è un autovalore con, ad esempio, autovettore $x = \displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}$. Poi$x^T H x = x^T(Hx) = x^T(\lambda x) = -x^T x < 0$, così $H$ non è definito positivo.