Densità e distribuzioni di quelle soluzioni NOTO numericamente o analiticamente di Riemann $\zeta(1/2 + r i)=0?$
Sappiamo che la congettura sull'ipotesi di Riemann riguarda gli zeri non banali $$(1/2 + r i)$$ per alcuni $r \in \mathbb{R}$ della funzione zeta di Riemann.
La mia domanda è quanto si sa della densità e delle distribuzioni di quelle soluzioni NUMEROSE o ANALITICHE DI$$\zeta(1/2 + r i)=0?$$
Ho trovato un post correlato ma risale a circa 8 anni fa, quindi forse abbiamo un aggiornamento migliore?
Densità media degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann
Risposte
A mio modesto parere, un documento chiave è quello pubblicato nell'anno $2014$di G.Franca e A.LeClair . In particolare, forniscono un'ottima e semplice approssimazione (equation$(229)$ nel documento collegato). $$\Im\left(r _{n}\right) \sim \frac{2 \pi \left(n-\frac{11}{8}\right)}{W\left(\frac{n-\frac{11}{8}}{e}\right)}$$ dove $W(.)$ è la funzione di Lambert;
Ripetendo alcuni dei loro calcoli per $n=10^k$, noi abbiamo $$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{approximation} & \text{solution} \\ 1 & 50.233653 & 49.773832 \\ 2 & 235.98727 & 236.52423 \\ 3 & 1419.5178 & 1419.4225 \\ 4 & 9877.6296 & 9877.7827 \\ 5 & 74920.891 & 74920.827 \\ 6 & 600269.64 & 600269.68 \end{array} \right)$$
Mathematica 8.0.1 derivazione dell'approssimazione di Eric Weisstein per i punti Gram:
(*Start*)
(*Mathematica*)
(*The derivation of the Gram points approximation by Weisstein in \
Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)
9.6769067871658668471,
17.847836512849620314,
23.171660819240722718,
27.671198036307304064,
31.718791394674873194,
35.467863110275089697, ...
Derivazione di Mathematica 8.0.1 modificata dell'approssimazione di Eric Weisstein che fornisce punti Franca-LeClair:
(*Start*)
(*Mathematica*)
(*Analogous to the derivation of the Gram points approximation by \
Weisstein in Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n + 1/2)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)
14.521346953065628168,
20.655740355699557203,
25.492675432264310733,
29.739411632309551244,
33.624531888500487851,
37.257370086972976394, ...
La difficoltà fondamentale nell'ottenere un asintotico accurato per gli zeri zeta di Riemann è che la funzione theta di Riemann-Siegel non è invertibile. L'utente reuns mi ha fatto notare che l'esatto asintotico per gli zeri zeta di Riemann è noto da circa 120 anni e l'esatto asintotico è l'inverso funzionale della funzione theta di Riemann-Siegel, secondo la Wikipedia francese.