Derivata direzionale e gradiente di una funzione derivabile

Question

Permettere $u = f(x,y,z)$ essere una funzione differenziabili in $\mathbb{R^3}$

Data la funzione soddisfa: $f(x,y,x^2 + y^2) = 2x+y$ per tutti $x,y$
E la derivata direzionale del punto $(0,2,4)$ nella direzione: $(-2,1,2)$ è uguale a $-\frac{5}{3}$.
Calcolare:$\nabla f(0,2,4)$

Il mio tentativo finora:
ho prima normalizzato il vettore:$\frac{(-2,1,2)}{||(-2,1,2)||} = (-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

lo sappiamo $f(0,2,4) = f(x,y,x^2 + y^2)$ perché $x=0, y=2 , x^2+y^2 = 4$ e così:

$f(0,2,4) = 2 \cdot 0 + 2 = 2$.

Secondo la definizione: $\frac{\partial f}{\partial (-2,1,2)}(0,2,4) = -\frac{5}{3} \Rightarrow \nabla f(0,2,4) \cdot (-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}) = -\frac{5}{3}$

Anche dalla definizione sono bloccato:

$\nabla f(0,2,4) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f( (0,2,4) + h(-2,1,2)) - f(0,2,4)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(-2h,2+h, 4+2h) - 2}{h}$

Perché il punto $(-2h,2+h, 4+2h)$ non lo soddisfa $x^2 + y^2 = z$ (coordinate) ...

Il problema è che non so come trovare il gradiente di quel punto, perché la funzione non è data nella sua forma esplicita .. Apprezzerei il tuo aiuto, grazie!

Answer 1

Per semplicità, denoterò $\nabla f(0,2,4) = (f_x(0,2,4), f_y(0,2,4) , f_z(0,2,4)) = (a,b,c)$

È necessario utilizzare la regola della catena su questo fatto noto $f(x,y,x^2+y^2) = 2x+y$:

$$\frac{ \partial }{\partial x}f(x,y,x^2+y^2) = f_x(x,y,x^2+y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial x}x + f_y(x,y,x^2+y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial x}y + f_z(x,y,x^2+y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = \overbrace{f_x(x,y,x^2+y^2) +2xf_z(x,y,x^2+y^2)}^{\text{left side}} = \overbrace{\frac{ \partial }{ \partial x}(2x+y)}^{\text{right side}} = 2$$

Vuoi trovare $\nabla f(0,2,4)$ e quindi possiamo sostituire:

$$f_x(0,2,4) + 0 = a = 2$$

$2x \cdot f_z(0,2,4) = 0$ perché viene moltiplicato per $x$ valore - che è $0$.

Stessa cosa per $\frac{\partial}{\partial y}$:

$$\frac{ \partial }{\partial y}f(x,y,x^2+y^2) = f_x(x,y,x^2+y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial y}x + f_y(x,y,x^2+y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial y}y + f_z(x,y,x^2+y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = f_y(x,y,x^2+y^2) +2yf_z(x,y,x^2+y^2) = \frac{ \partial }{ \partial y}(2x+y) = 1$$

E quindi tieni presente questa equazione (1): $$ \fbox{b+4c =1}$$

Ora possiamo usare il fatto che la derivata direzionale a $(-2,1,2)$ al punto $(0,2,4)$ è $-\frac{5}{3}$ per definizione, la derivata direzionale per questa funzione differenziabili in un dato punto e direzione è:

$$ \nabla(0,2,4) \cdot ( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}) = - \frac{5}{3}$$

Richiama questo $\nabla f(0,2,4) = (a,b,c)$:

$$ - \frac{2a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{2c}{3} = - \frac{5}{3}$$

$$ -2a +b +2c = -5$$

L'abbiamo trovato $a=2$:

$$ \fbox{ b + 2c = -1}$$

Ora abbiamo un insieme di due equazioni con due incognite, questo dovrebbe essere avanti veloce:

$$ \left\{\begin{matrix} b+4c =1\\ b + 2c = -1 \end{matrix}\right.$$

Lo abbiamo capito $$a=2, ~~~~ b = -3 , ~~~~ c = 1$$

E quindi la risposta è:

$$ \nabla f(0,2,4) = (2,-3,1)$$