Derivata temporale della mappatura $t \mapsto P_tf(x)=\mathbb{E}^x(f(X_t))$ - generatore infinitesimale

Question

Qualcuno può spiegare l'equazione $1$ in questo https://math.stackexchange.com/a/697412/767953in una forma più semplice? Inoltre non riesco a capire come dall'equazione$1$ possiamo vederlo $u$ è la soluzione all'equazione del calore.

Answer 1

Suggerimento

\ begin {align} \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} P_tf (x) & = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {P_ {t + h} f (x) -P_tf (x)} {h} \\ & = \ lim_ {h \ to 0} P_t \ left (\ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_t \ left (\ lim_ {h \ a 0} \ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_tAf (x) \\ & = AP_tf (x). \ end {align} Ti lascio giustificare ogni uguaglianza come un compito a casa. Per l'altra tua domanda, puoi provare che il generatore infinitesimale del moto browniano se dato da$$Af(x)=\frac{1}{2}\Delta f(x).$$ Fallo come compito se non ti è chiaro.