Differenza tra la ricerca di un vettore normale su una data superficie usando gradiente e $r_u\times r_v$

Question

Quando si calcola l'integrale di superficie nel campo scalare, usiamo la seguente formula:

Ora, nell'esempio risolto di seguito;

Per la superficie S1 , hanno calcolato$r_(theta) × r_z$per trovare il vettore normale, che mi è chiaro. Ma la mia domanda è se possiamo usare il gradiente per trovare lo stesso vettore normale e quindi il suo modulo deve essere sostituito nell'integrale perché nella mia classe, il nostro insegnante ha usato il gradiente per trovare il vettore normale unitario in molti esempi in integrali di superficie su campo vettoriale dato dalla formula

Ora, se calcolo il gradiente della superficie ottengo n = 2x i + 2y j e | n | = 2 invece di 1 scoperto da$r_(theta) × r_z$nella domanda risolta sopra. Di conseguenza, se sostituisco 2 al posto di |$r_(theta) × r_z$| l'intero valore integrale viene moltiplicato per 2, il che sicuramente dà la risposta sbagliata. Sono davvero confuso sul motivo per cui la grandezza del vettore normale differisce nei due casi e su come differenziare dove utilizzare il gradiente e dove il prodotto incrociato per i calcoli. Inoltre, se le normali possono essere trovate usando il gradiente, allora perché siamo stati introdotti con il metodo di usare il prodotto incrociato che è piuttosto noioso da trovare in alcuni casi, per trovare lo stesso?

Answer 1

Se la superficie $S$ è dato come un insieme di livelli di qualche funzione $f$, quindi la sua normale è infatti parallela al gradiente di $f$.

Ma $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$contiene informazioni sulla grandezza che non possono essere ottenute da$\nabla f$. Il fatto che$\nabla f$ non ha queste informazioni è facile da capire: se $S$ è dato da $f=c$, quindi è anche dato da $af=ac$ per qualsiasi numero reale $a$e le funzioni $af$hanno diversi gradienti. Puntano nella stessa direzione (o esattamente opposte per negativo$a$) ma hanno magnitudini completamente diverse.

In breve, ciò che il gradiente può fare per te (per le superfici fornite come set di livelli) è trovare $\mathbf{n}$. Questo va bene se puoi usare una certa geometria per eseguire un integrale$dS$, ma di solito non è possibile. Il gradiente non può dirti come convertire$dS$ in $|J(u,v)| du dv$, però.

Answer 2

Questa formula è per una funzione di valori scalari f.

E questa funzione è per una funzione a valori vettoriali f.

L'esempio passa quindi a discutere un problema con una funzione a valori scalari. In questo caso non è necessario calcolare un vettore normale.