Dimostra che la soluzione esplode in un tempo finito [duplicato]
Voglio mostrare la soluzione di questo problema di Cauchy
\begin{cases} u'(t)=u(t)^2 + t \\ u(0)=0 \end{cases}
è definito per$t \in [0,\alpha]$, insieme a$\alpha <3 $
Ho cercato di integrare, ma non è possibile a causa del$t$. posso capire che$u'>0$per tutti$t \geq 0$, e questo è tutto. Non so come discutere onestamente
Risposte
Notare che$u(t) \geq \int_0^t sds = t^2/2$affinché$u(\sqrt{2})\ge 1$.
Da$u'(t)/u(t)^2 \ge 1$, possiamo integrare entrambi i lati da$\sqrt{2}$a$t$e lo vediamo$-\frac{1}{u(t)}+\frac1{u(\sqrt{2})}\ge t-\sqrt{2}, $Ogni volta che$t>\sqrt{2}$.
così$\frac{1}{u(t)} \le \sqrt{2}-t+\frac1{u(\sqrt{2})}$. Sappiamo$u(\sqrt{2})\geq 1$, affinché$\frac{1}{u(\sqrt{2})}\leq 1$.
Quindi, se$t \ge \sqrt{2}$poi$u(t)>\frac{1}{\sqrt{2}+1-t}$. Pertanto il tempo di esplosione è al massimo$\sqrt{2}+1<3$.