Dimostra quel perimetro del triangolo $MNC$ è uguale a metà perimetro del triangolo $ABC$
In $ABC$ triangolo equilatero. $K$ è il punto medio di $AB$. $M$ e $N$ mentire su $AC$ e $BC$rispettivamente. Se$\angle MKN=60°$, quindi prova quel perimetro di $\triangle MNC$ è uguale a metà perimetro di $\triangle ABC$.
Risposte

Specchio $N$ riguardo a $CK$, lascia fare $N'$. Lo notiamo$\angle CN'N=\angle MKN=60^{\circ}$. Perciò$MKNN'$sono co-ciclici. Perciò$\triangle MKN$l 'immagine speculare di rispetto a $CK$ condivide lo stesso circumcircle con $\triangle MKN$. Quindi il centro di$\triangle MKN$Il circumcircle si trova su $CK$.
Ora disegna le bisettrici angolari di $\angle CMN, \angle CNM$ e lascia che si incontrino a $I$. Ovviamente$I$ si trova sulla terza bisettrice $CK$. Da$\angle MIN=120^{\circ}$, $M,K,N,I$sono co-ciclici. Inoltre, combinando con il risultato del paragrafo precedente, sappiamo$IK$è un diametro di quel cerchio. Perciò$\angle IMK=\angle INK=90^{\circ}$.
Quindi $MK$ divide in due l'angolo esterno $\angle AMN$ e $NK$ divide in due l'angolo esterno $\angle BNM$.
Ora guarda l'immagine giusta. Disegna il cerchio tangente a$AM,MN,NB$ e lascia che sia il suo centro $O$. Lo noteremo$MO$ bisecherà l'angolo $AMN$ e $NO$ bisecherà l'angolo $BNM$ così $O$ e $K$ sono essenzialmente lo stesso punto.
Ora è facile vedere il perimetro di $\triangle CMN$ è uguale a $CP+CQ$, che è la metà del perimetro di $\triangle ABC$. (Perché$AP={1\over 2} AK={1\over 4}AB$ e così fa $BQ$)
Penso di aver risolto il problema ragazzi!

Prendiamo il punto $P$ a lato $BC$ dove $\angle NKP=60°$. Allora prendi il punto$T$ alla linea PK dove $PK=KT$. triangoli$BKP$ e $ATK$sono congruenti. Così$\angle TAK=60°=\angle KBP$. Notare che$AMKT$è un circumcircle. Così$\angle TAK=\angle TMK$. Così$TMK$ è un triangolo equilatero.
Ora possiamo essere sicuri che i triangoli $MKN$ e $NKP$sono congruenti. Così$MN=NK$. Dal teorema di Tolomeo, lo otteniamo$AM+AT=AK$. Inoltre, non dimenticarlo$BP=AT$.
$CM+AM+AK=CM+2AK-AT=CM+BC-BP=CM+CP=CM+CN+NP=CM+CN+MN$.