Dimostralo $\Bbb Z_n$è un gruppo sotto modulo addizione: la parte associativa. [duplicare]
Perché è $\Bbb Z_n =\{0,1,2,3,4,...,n-1\}$ un gruppo sotto modulo addizione?
È necessaria solo la parte associativa. Cioè, sono bloccato a dimostrarlo$a,b,c \in \Bbb Z_n$, noi abbiamo: $$(a + b \pmod{ n} + c) \pmod {n} = a + (b + c \pmod{n}) \pmod n.$$
O forse più chiaramente affermato. Con$+_n$ denotando "$+ \pmod{n}$": $(a +_n b) +_n c = a +_n ( b +_n c)$.
-Grazie
Risposte
Gli elementi di $\Bbb Z_n$sono classi di equivalenza di numeri interi, in questo modo:
$$[a]_n:=\{b\in\Bbb Z:n\mid a-b\},$$
dove $a\in \Bbb Z.$
L'addizione è definita come segue:
$$[a]_n+_n[b]_n:=[a+b]_n.$$
Ora l'associatività richiesta deriva dall'associatività dell'addizione: per qualsiasi $[a]_n,[b]_n,[c]_n\in\Bbb Z_n$, noi abbiamo
$$\begin{align} [a]_n+_n([b]_n+_n[c]_n)&=[a]_n+_n[b+c]_n\\ &=[a+(b+c)]_n\\ &=[(a+b)+c]_n\\ &=[a+b]_n+_n[c]_n\\ &=([a]_n+_n[b]_n)+_n[c]_n. \end{align}$$