Dimostralo $\epsilon - \delta$ stile quello $\lim\limits_{x \rightarrow 2}x^2 \neq 6$ via contraddizione

Question

Domanda: Dimostrare$\epsilon - \delta$ stile quello $\lim\limits_{x \rightarrow 2}x^2 \neq 6$ via contraddizione

Quindi la mia idea iniziale è di supporre $\lim\limits_{x \rightarrow 2} x^2 = 6$. Allora per tutti$\epsilon > 0$ $\exists$ $\delta > 0$ tale che $|x^2-6| < \epsilon \rightarrow0 < |x-2| < \delta$

Tuttavia, non sono sicuro di come mostrare una contraddizione senza "collegarla" .... qualcuno potrebbe mostrarmela?

Answer 1

Permettere $\varepsilon = 0.25 > 0 $

Lo abbiamo per tutti $\delta > 0$, se prendiamo $\alpha = \text{min}\{0.1,\frac{\delta}{2} \}$, allora abbiamo quello $2\alpha + \alpha^{2} \leq 0.2 + 0.01 = 0.21$

Se prendiamo $x = 2 + \alpha$, ce l'abbiamo $|2+ \alpha - 2| = \alpha < \delta$, ma $|(2+ \alpha)^{2} - 6| = 6 - 4 - 2\alpha - \alpha^{2} \geq 2 - 0.21 > 1 > \varepsilon$. Allora è una contraddizione della definizione del limite