Dimostrare che esiste un polinomio che si annulla in tutti i punti di$X$curva algebrica

Question

Permettere$X \subset \mathbb{A}^3$essere una curva algebrica e supporre$X$non contiene una linea parallela al$z$- asse. Dimostrare che esiste un polinomio diverso da zero$f(x,y)$svanendo in tutti i punti di$X$.

Penso che questa domanda richieda un argomento dimensionale e per essere più precisi stavo pensando di applicare il seguente risultato:

Se$X$è un irriducibile$n$- varietà quasiproiettiva dimensionale e$Y \subset X$l'insieme di zeri di$m$forme su$X$, quindi ogni componente non vuoto di$Y$ha dimensione$\geq n -m$.

Quindi, nel mio caso$X$ha dimensione$n= 1$perché è una curva algebrica,$m = 1$e$Y$è l'insieme di zeri di$f$. In questo modo, ottengo che ogni componente di$Y$ha dimensione$\geq 0$. Quindi sembra$f$svanisce in alcuni punti di$X$e l'intersezione non è mai vuota. Per dimostrare l'esercizio, dovrei dimostrare quello$\dim Y = 1$. Non so come muovermi da qui e non sono sicuro della correttezza del mio ragionamento fino a questo punto.

Answer 1

Intuitivamente, il modo in cui si trova un tale polinomio è considerare la proiezione della curva$X$sul$xy$-plane e poi trova un polinomio che svanisce sull'immagine di questa proiezione. Questo sarà un polinomio in$x$e$y$che è costante lungo tutte le fibre verticali di questa proiezione, e quindi svanirà$X$.

Per costruire un tale polinomio, considera$I(X)$e prendi$f_1,\cdots,f_n$come gruppo elettrogeno con n$f_i \in (f_1,\cdots,f_{i-1})$. A condizione che$X$è una curva in$\Bbb A^3$,$n$è almeno$2$(questo è l'unico posto in cui la dimensione è importante). Se uno dei due$f_1$o$f_2$è solo un polinomio in$x$e$y$, abbiamo finito. Altrimenti, possiamo usare la risultante di$f_1$e$f_2$riguardo a$z$produrre un polinomio in just$x$e$y$che svanisce ovunque$f_1$e$f_2$do: in particolare, un tale polinomio deve svanire$X$.