Dimostrare che un CDF è cadlag

Question

Vorrei sapere se questa dimostrazione è corretta. Grazie per l'aiuto.

Permettere $X$essere una variabile casuale. Una funzione$F_X: \mathbb{R} \to [0,1]$ definito da: $$F_X(x) = \mathbb{P}(X \leq x) $$è chiamata funzione di distribuzione cumulativa di X. Per definizione di cadlag , è una funzione continua destra con un limite a sinistra. Questo è,

$\bullet$ Il limite a sinistra, $\, \lim_{s\uparrow t} F_X(s) = F_X(t^-) $ esiste.

$\bullet$ Il limite a destra, $\,\lim_{s\downarrow t} F_X(s) = F_X(t^+)$ esiste ed è uguale $F_X(t)$.

Per iniziare, mostriamo il limite continuo. Per qualche sequenza decrescente,$\{ x_n:\, \, x_n \downarrow t\}$, la sequenza degli eventi $\{X \leq x_n \}$, è una sequenza decrescente di insiemi. $$\implies \lim_{n \to \infty} \boldsymbol{1}\{X \leq x_n \} = \boldsymbol{1} \left \{ \bigcap_{n=1}^\infty X \leq x \right\} = \boldsymbol{1}\{X \leq t\}$$ $$\implies \lim_{s\downarrow t} F_X(s) = \lim_{n \to \infty} F_X(x_n) = \lim_{n \to \infty } \mathbb{P}(X \leq x_n) = \mathbb{P}(X\leq t) = F_X(t) $$ Per definizione, $F_X$è diritto continuo. Ora per l'altra direzione. Naturalmente notiamo che per una sequenza di insiemi,$\{X \leq x_n \}$, che sta diminuendo, il complemento aumenta di conseguenza. $$\boldsymbol{1}\left \{\bigcup_{n =1}^\infty X \leq x_n \right \} = \lim_{n \to \infty} \boldsymbol{1}\{X \leq x_n \} = \boldsymbol{1}\{X < x \} \implies \mathbb{P}(X < x) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(X \leq x_n)$$

Se la sequenza dei numeri si avvicina ora verso l'alto, $\{ x_n:\, \, x_n \uparrow t\}$

$$ \lim_{s\uparrow t} F_X(s) = \lim_{n \to \infty } F_X(x_n) =\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(X \leq x_n) = \mathbb{P}(X < t)$$Sono più preoccupato di dover definire alcuni comportamenti della funzione a questo punto per la seconda parte. Per favore fatemi sapere come questo può essere migliorato.

Answer 1

Tu hai detto. $$\lim_{s\uparrow t} F_X(s) = 1 - \lim_{s \downarrow t }F_X(s) $$Questo non è corretto. Ciò significherebbe che se$F$ è quindi un CDF continuo $F(t)=1-F(t)$ o $F(t)=\frac 1 2$ per tutti $t$!.

Se $x_n$ rigorosamente aumenta a $x$ poi $(X \leq x_n)$ aumenta a $X<x$ e $P(X \leq x_n) \to F(x-)$

Altre parti della tua risposta sembrano OK.