Dimostrare / confutare: $A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq (\lfloor A/B \rfloor + 1) \times B$ per $A \geq B$

Aug 20 2020

Ho cercato di dimostrare quanto segue, per $A \geq B$, entrambi sono numeri interi strettamente positivi: $$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq (\lfloor A/B \rfloor + 1) \times B$$Non sono sicuro che sia vero. Finora non riesco a trovare un controesempio. Qualcuno ha un'idea?

Risposte

1 ClementYung Aug 20 2020 at 17:08

$ \newcommand{\f}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{\c}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} $ Nota che $\f{A/B} \leq \c{A/B}$, così: $$ A - \f{A/B} - \c{A/B} \leq A - 2\f{A/B} \\ (\f{A/B} + 1)B = \f{A/B}B + B \geq (A/B - 1)B + B = A $$ Quindi la disuguaglianza vale chiaramente come $\f{A/B} > 0$.

1 Fawkes4494d3 Aug 20 2020 at 17:08

$A\ge B\implies\lfloor A/B \rfloor\ge 1$ e $\lceil A/B \rceil\ge 1$ $$A-\lfloor A/B\rfloor - \lceil A/B \rceil <A=A/B\times B\le \lceil A/B\rceil \times B \le (\lfloor A/B \rfloor +1)\times B$$

dove l'ultima disuguaglianza vale da allora $\lceil A/B \rceil = \lfloor A/B \rfloor $ Se $A$ è divisibile per $B$, altrimenti $A/B$ non è un numero intero e $\lceil A/B \rceil = \lfloor A/B \rfloor +1$.