Dimostrazione che se la differenza dei termini di due successioni convergenti è nulla, allora il limite delle successioni è uguale
Proposta: Dato che le sequenze reali $\{a_n\}$ e $\{b_n\}$ sono convergenti e questo $\{a_n - b_n \}$ è una sequenza nulla, quindi $\lim_{n \to\infty} a_n = \lim_{n \to\infty} b_n$
Questo è stato il mio tentativo:
Denota $\lim_{n \to\infty} a_n = l$ e $\lim_{n \to\infty} b_n = m$. Supponiamo$m \neq n$. Supponiamo$\epsilon = \frac{l-m}{2}$. Dalla convergenza di$\{a_n\}$ e $\{b_n\}$e utilizzando il valore specificato di epsilon, per sufficientemente grande $n$ ce l'abbiamo $\frac{l+m}{2} < a_n < \frac{3l-m}{2}$, e $\frac{3m-l}{2} < b_n < \frac{m+l}{2}$. Da questo abbiamo
$$0<a_n - b_n < 4\bigg(\frac{l-m}{2}\bigg)$$ $$\rightarrow 0 < a_n - b_n < 4\epsilon$$
Ma dalla densità di $\mathbb{R}$, ce ne sono alcuni $r \in \mathbb{R}$ tale che $a_n - b_n > r$ per sufficientemente grande $n$. Ma questo contraddice il fatto che$\{a_n - b_n\}$ è una sequenza nulla, quindi $l=m$ $$\tag*{$\ blacksquare$}$$
Mi interessa vedere se esiste una prova (e si spera anche una verifica che la mia sia corretta!) Che non si basa sul dedurre una contraddizione dall'assumere $l \neq m$. Questa sembra frustrante come una di quelle affermazioni "ovvie" che quando scrivo in logica del primo ordine faccio fatica a dimostrare. In particolare non sono riuscito a trovare un modo per farlo direttamente.
Risposte
La prova per contraddizione è davvero l'approccio più naturale qui. L'intuizione è semplice: se le sequenze hanno limiti diversi, alla fine devono essere vicine a quei limiti e quindi non possono essere vicine tra loro.
Può essere fatto un po 'più facilmente, però. Permettere$\epsilon=\frac13|\ell-m|$. C'è un$n_0\in\Bbb N$ tale che $|a_n-\ell|<\epsilon$ e $|b_n-m|<\epsilon$ ogni volta $n\ge n_0$. Ma allora
$$|\ell-m|\le|\ell-a_n|+|a_n-b_n|+|b_n-m|<|a_n-b_n|+2\epsilon\,,$$
per tutti $n\ge n_0$, così
$$|a_n-b_n|>|\ell-m|-2\epsilon=\epsilon$$
per tutti $n\ge n_0$, contraddicendo il presupposto che $\langle a_n-b_n:n\in\Bbb N\rangle$ è una sequenza nulla.
Il tuo argomento ha alcuni problemi. In primo luogo, sembra che tu lo stia assumendo$\ell>m$; non c'è una reale perdita di generalità se fai questo assunto, ma devi almeno dire che lo stai facendo. Apparentemente stai anche supponendo che alla fine$a_n-b_n$è positivo, il che non deve essere necessariamente il caso. Infine, cosa più importante, non hai effettivamente fornito alcuna giustificazione per l'affermazione che esiste un reale$r$ tale che $a_n-b_n>r$ per sufficientemente grande $n$: questo in realtà è vero per $|a_n-b_n|$ e alcuni positivi $r$, ma questo non ha nulla a che fare con la densità di $\Bbb R$.