Disuguaglianza per funzione di$\arctan(x)$

Aug 17 2020

Voglio mostrarlo$$f(x) = \frac{1}{\arctan(x)} - \frac{1}{x} $$sta aumentando$(0, \infty)$. Posso vederlo chiaramente tracciandolo, ma sto lottando per scriverlo rigorosamente. Ovviamente è sufficiente mostrare che la sua derivata è sempre positiva in questo intervallo (che è chiaro anche dal tracciamento). abbiamo$$f'(x) = \frac{(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2}{x^2(1+x^2)\arctan^2(x)}$$quindi ancora una volta è sufficiente dimostrarlo$$g(x) \equiv (1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$(e, ancora una volta, questo è chiaro dalla trama). Sono saltato nella tana del coniglio prendendo il derivato di$g$pure (poiché lo è$0$a$x = 0$quindi basterebbe di nuovo dimostrarlo$g' \ge 0$) e non produce nulla di immediatamente utile per me. Si prega di aiutare se potete

Risposte

5 cr001 Aug 17 2020 at 02:58

$${1\over 1+x^2}\ge {1-x^2\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$che è derivato di$${\arctan(x)}\ge {x\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$ $${2\arctan(x)\over 1+x^2}\ge {2x\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$che è derivato di$$\arctan^2(x) \ge {x^2\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$

$$(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$

2 PacoAdajar Aug 17 2020 at 03:04

Considera invece$ \displaystyle g(x) = \arctan{x} - \frac{x^2}{1 + x^2}$. Notare che$g(0) = 0$, quindi è sufficiente dimostrarlo$g'(x) = 0$per$x \ge 0$.

Adesso,$\displaystyle g'(x) = \frac{2[(1 + x^2)\arctan{x} - x]}{(1 + x^2)^2}$. Basti quindi considerare$$h(x) = \arctan{x} - \frac{x}{(1 + x^2)},$$e mostralo$h(x) \ge 0$per$x \ge 0$. Ma$h(0) = 0$, e$$h'(x) = \frac{2x^2}{(1 + x^2)^2} \ge 0$$per tutti$x$. Questo completa la dimostrazione.