Domanda sulla convergenza / divergenza di somme di reciproci di interi positivi
Studiando i più comuni test di convergenza conosciuti, ho scoperto che in alcuni casi tali test sono inconcludenti (ad esempio, ratio test when $r=1$, test di confronto quando la serie è condizionatamente convergente, ecc.), quindi ho pensato a qualche possibile test di convergenza per serie che coinvolgono somme di reciproci di interi positivi.
Il razionale alla base di questo test è il seguente: in qualche modo, la densità di dati sottoinsiemi di interi positivi può essere valutata e confrontata attraverso le loro somme parziali. Ad esempio, è intuitivo che un insieme di file$n$ interi positivi tali che $\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ è più denso di un insieme di $n$ interi positivi tali che $\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.
Dando uno sguardo ad alcune delle più note serie di reciproci di interi positivi, è facile vederlo con precisione $\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ è la somma parziale corrispondente al sottoinsieme più denso possibile di numeri interi positivi, poiché è la somma di interi positivi consecutivi a partire da $1$. È noto e facilmente dimostrabile che la somma$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_{k}}$ diverge, a una velocità di approssimativamente $\ln(n)$. Un'altra sequenza divergente nota, la somma dei reciproci dei numeri primi, diverge a una velocità di approssimativamente$\ln\ln(n)$e la somma parziale dei numeri primi consecutivi è approssimativamente $\sum_{k=1}^{n}p_k=\frac{1}{2}n^2\ln(n)$. Tuttavia, la somma parziale già annotata$\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ corrisponde all'insieme di numeri triangolari, e lo abbiamo $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{b_{k}}=2$.
Il possibile test di convergenza dichiarato si basa sull'esistenza di una qualche funzione $F(n)$, delimitato come $\frac{1}{2}n^2\ln(n)<F(n)<\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$, tale che per ogni sottoinsieme infinito di numeri interi positivi $S=\left\{ a_{1},a_{2},...\right\}$ tale che $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=\infty$, allora possiamo affermarlo $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}<\infty$; e se$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=0$, allora possiamo affermarlo $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}=\infty$.
Pertanto, il test sarebbe basato sulla somma dei denominatori della sequenza e avrebbe la seguente forma:
(Possibile) Test di convergenza
Dato un sottoinsieme infinito di interi positivi $S=\left\{ a_{1},a_{2},...\right\}$ tale che $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=\infty$, allora possiamo affermarlo $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}<\infty$; e se$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=0$, allora possiamo affermarlo $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}=\infty$
La domanda ora è: è possibile l'esistenza di tale funzione $F(n)$? È compatibile con il fatto dimostrato qui:https://math.stackexchange.com/questions/452053/is-there-a-slowest-rate-of-divergence-of-a-series#:%7E:text=Talking%20about%20getting%20closer%20to,%22the%20slowest%20diverging%20series%22?
Credo sia possibile l'esistenza di tale funzione, e che sarebbe compatibile se non esistesse alcuna somma parziale di interi positivi pari a $F(n)$. Ad esempio, se ipoteticamente$F(n)=n^e$, non esisterebbe alcun insieme di numeri interi positivi tale che il tasso di convergenza / divergenza fosse $0$.
Qualsiasi commento / ipotesi su come 1) provare l'esistenza o la non esistenza di $F(n)$e 2) approssimazione $F(n)$ sarebbe il benvenuto!
Risposte
Purtroppo, anche una funzione in rapida crescita $F(n)$ non riesce a garantire $1/a_n\to 0$. Ad esempio, put$a_{2k}=k!$ e $a_{2k+1}=1$ per ogni naturale $k$. Anche quando lo richiediamo$\{a_n\}$ è non decrescente, la sua rapida crescita può non garantire la convergenza di una serie $\sum_{i=1}^n \tfrac 1{a_i}$. Ad esempio, per ogni funzione in aumento molto rapido$g:\Bbb N\to\Bbb N$ lasciate che la sequenza $\{a_n\}$ è costituito da blocchi consecutivi di numero $g(k)$ e lunghezza $g(k)$. Poi una sequenza$\{1/a_n\}$ diverge, ma una sequenza $\{\sum_{i=1}^{n} a_i\}$ ha grandi salti a $g(k+1)$ a ciascuno $n(k)=1+\sum_{i=1}^k g(i)^2$.
D'altra parte, la disuguaglianza tra mezzi aritmetici e armonici lo implica $$\sum_{i=1}^n \frac 1{a_i}\ge \frac{n^2}{\sum_{i=1}^n a_i},$$ quindi se il lato destro di questa disuguaglianza è illimitato, allora la serie $\sum_{i=1}^n \tfrac 1{a_i}$ diverge.