Dubbi nel calcolo delle probabilità.

Question

X e Y sono due giocatori di scacchi:

• La probabilità che X vinca una determinata partita contro Y è $1/3$ e la probabilità che Y vinca la partita è $2/3$.
• Giocano una serie di giochi in cui le regole sono tali che X vince due partite consecutive, quindi X vince la serie e Y vince la serie quando vince $4$ partite consecutive.
• Iniziano il gioco e giocano finché uno di loro non vince la serie.

Seguendo queste regole, qual è la probabilità che Y vinca la serie?

Ho calcolato la probabilità considerando $4/5/6$ giochi totali individualmente ma non sono riuscito a trovare alcun modello in modo da poterlo sommare $n$ numero di giochi e tend $n$ all'infinito$\ldots$ questo è il mio approccio di base in tali problemi ma non potrei farlo qui$\ldots$

Answer 1

Gli stati non terminali sono $w\in\{\emptyset, X, Y, YY, YYY\}$, dove il nome $w$esprime le ultime vittorie rilevanti. Per ciascuno di questi stati$w$ abbiamo una probabilità $p_w$ quello $Y$vince la serie . Per queste probabilità abbiamo le seguenti equazioni:$$\eqalign{p_{\emptyset}&={2\over3}p_{Y}+{1\over3}p_{X}\cr p_{Y}&={2\over3}p_{YY}+{1\over3}p_{X}\cr p_{YY}&={2\over3}p_{YYY}+{1\over3}p_{X}\cr p_{YYY}&={2\over3}+{1\over3}p_{X}\cr p_{X}&={2\over3}p_{Y}\cr}$$ Ad esempio, quando siamo nello stato $YY$, giocatore $Y$vince la serie con probabilità$p_{YY}$. Nella prossima partita$Y$ vince con probabilità ${2\over3}$ e siamo allora nello stato $YYY$, e $Y$ perde con probabilità ${1\over3}$, e siamo quindi in stato $X$. In questo modo otteniamo l'equazione$p_{YY}={2\over3}p_{YYY}+{1\over3}p_{X}$.

Risolvendo questo sistema si ottiene la probabilità iniziale $$p_{\emptyset}={64\over129}\ .$$