Dubbio sull'algebra lineare di Shilov: cos'è esattamente l'isomorfismo?

Question

Stavo leggendo Algebra lineare di Shilov e lui ha iniziato a definire l'isomorfismo, ma ho problemi a capirlo a causa del linguaggio che usa. Lui dice

" Due campi$K$e$K'$sono detti isomorfi se possiamo stabilire una corrispondenza biunivoca tra di essi$K$e$K'$tale che il numero associato a ogni somma (o prodotto) di numeri in$K$è la somma (o prodotto) dei numeri corrispondenti in$K'$. Il numero associato a ogni differenza (o quoziente) di numeri in$K$sarà quindi la differenza (o quoziente) dei numeri corrispondenti in$K'$."

Non ho capito quasi niente.

Le mie domande:

(1) Non è una corrispondenza uno a uno una corrispondenza in cui associo un numero di$K$ad un numero di$K'$senza ripetere, come in una funzione, il che significa che c'è esattamente la stessa quantità di numeri in$K$come in$K'$?

(2)Cosa intende per numeri associati a ogni somma? Vuol dire che il risultato della somma di due dati elementi di$K$deve essere uguale alla somma dei due elementi di$K'$che sono associati a loro?

(3) Quindi accade la stessa cosa con la differenza (o quoziente)?

(4) Quando scrive "somma (o prodotto)", sta dicendo che i due numeri, o il numero (dipenderà dalla risposta alla mia seconda domanda), devono soddisfare sia il caso somma che il caso prodotto o devono solo soddisfare uno dei due?(Lo so o significa che è o una cosa o l'altra, non entrambe, ma... Sai, preferisco essere sicuro).

Answer 1

Per (1), devi associare un elemento unico e diverso di$K$ad ogni elemento di$K'$, e viceversa. Ancora più importante, questa deve essere la stessa mappa sottostante che rispetta la somma e i prodotti. Non stai solo dicendo questo$K$e$K'$hanno la stessa cardinalità, ma che la particolare mappa di cui parla l'autore è uno a uno.

Per (2), sì.

Per (3), sì, perché questa mappa$f$ha$f(-x) + f(x) = f(x + (-x)) = f(0) = 0$. (Per l'ultima parte, nota che$f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0)$.)

Non sono sicuro di cosa intendi in (4), ma l'idea è quella$f(xy) = f(x)f(y)$.

Il testo nella citazione è poco chiaro e inutilmente prolisso; questo è un esempio in cui i simboli rendono le cose molto più chiare. Ciò che l'autore intende è che un isomorfismo di campi$K$e$K'$è una funzione$f:K \to K'$con le seguenti proprietà:

• $f$è biunivoco: per qualsiasi$x'\in K'$, esiste un unico$x\in K$insieme a$f(x) = x'$.
• $f(x + y) = f(x) + f(y$) per ogni$x, y\in K$;
• $f(xy) = f(x) f(y)$per ogni$x, y\in K$.

Ci sono alcune altre proprietà, come$f(1) = 1$e$f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$per diverso da zero$x$, che seguono immediatamente da queste proprietà; ma questa è la definizione stessa.