È $f(x,y)=\frac{xy^3}{x^2+y^6}$ differenziabili a $(0,0)$? [duplicare]
La seguente funzione è differenziabili in $(0,0)$?
$$ \ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy^3}{x^2+y^6} & \text{if } (x,y) \ne (0,0), \\ 0 & \text{if } (x,y) = (0,0). \end{cases} $$
Ho scoperto che entrambe le derivate parziali lo sono $0$e poi ha provato a calcolare il seguente limite:
$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\frac{xy^3}{x^2+y^6}}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^3}{(x^2+y^6) \sqrt{x^2+y^2}}$$
E poi sono rimasto bloccato. Ho provato il teorema di compressione, ma non riuscivo ancora a calcolarlo.
Come posso calcolare questo limite?
Risposte
Non è nemmeno continuo a $(0,0)$. Suggerimento: $f(y^3,y)=\dfrac12$ Se $y\ne0$.
Ricorda che la continuità è una condizione necessaria per la differenziabilità poiché la differenziabilità implica continuità e per$y^3=v \to 0$ usando le coordinate polari che abbiamo
$$\frac{xy^3}{x^2+y^6}=\frac{xv}{x^2+v^2}=\cos\theta\sin \theta$$