È possibile classificare sottospazi non chiusi dello spazio di Hilbert?

Jan 15 2021

Permettere $H$ essere lo spazio di Hilbert.

Motivato dalla mia precedente domanda sui funzionali lineari selvaggiamente discontinui , che può essere interpretato come un tentativo di classificare gli iperpiani densi in$H$, permettimi ora di andare dritto al punto:

Domande .

  1. Ci sono differenze significative tra gli iperpiani densi in $H$?

  2. Se $L$ e $M$ sono due densi iperpiani in $H$, esiste una mappatura unitaria dell'operatore $L$ per $M$?

  3. Supponendo che la risposta a (2) sia negativa, quante orbite ci sono per l'azione naturale del gruppo unitario $\mathscr U(H)$ sul set di densi iperpiani?


Parlando di sottospazi generali (non necessariamente chiusi o densi) di $H$, ci sono alcune cose che si possono dire al riguardo.

Ad esempio, non tutti questi spazi possono essere descritti come l'intervallo di un operatore limitato e, in particolare, nessun iperpiano denso si qualifica. Questo perché, se l'intervallo di un tale operatore ha una co-dimensione finita, deve essere chiuso (questo segue facilmente dal Teorema del grafico chiuso).

L'intervallo di un operatore compatto non contiene alcun sottospazio chiuso a dimensione infinita, quindi questa è un'altra proprietà che si potrebbe usare per classificare i sottospazi.

Altre domande .

  1. Esiste una condizione necessaria e sufficiente, espressa in termini topologici / analitici, che caratterizza il range di un operatore limitato (risp. Compatto) tra tutti i sottospazi di $H$?

  2. Di quante classi di equivalenza unitaria di sottospazi non chiusi $H$ci sono? Quanti di questi possono essere descritti in termini topologici / analitici?

Risposte

1 Black Jan 16 2021 at 21:26

Immagino di avere una risposta semplice alla domanda 4, nel caso compatto: un sottospazio dimensionale infinito $E\subseteq H$ è l'intervallo di un operatore compatto se e solo se esiste un insieme ortogonale (al contrario di ortonormale) $\{e_n\}_{n\in {\mathbb N}}\subseteq E$, tale che $$ \lim_{n\to \infty }\Vert e_n\Vert = \infty , $$ e $$ E=\Big\{\xi \in \overline{\text{span}\{e_n\}}: \sum_{n=1}^\infty \big|\langle \xi , e_n\rangle \Big|^2<\infty \Big\}. $$ Ciò deriva facilmente dal teorema spettrale per operatori compatti e dal fatto che la portata di un operatore compatto $T$ coincide con la gamma di $|T|$.