È$\sigma(n)$iniettiva nell'insieme$A=\left\{n\in\mathbb{N}: \mbox{$n$ is odd and $\omega(n)=1$} \right\}$?
Qualche tempo fa ho chiesto se la funzione somma dei divisori$σ(n)$era iniettivo, a cui la risposta era no e mi sono stati presentati diversi controesempi, poi ho cominciato a chiedermi se restringendo$σ(n)$a un certo$A\subset\mathbb{N}$, potrebbe essere iniettivo. Il primo che ho trovato è stato l'insieme dei numeri primi, e da lì ho provato a vedere un insieme più generale, per esempio,$A=\left\{n\in\mathbb{N}: \mbox{$n$ is odd and $\omega(n)=1$} \right\}$dove$\omega(n)$rappresenta il numero di divisori primi diversi da$n$. In questo modo, se prendo$a,b\in A$tale che$a\neq b$, quindi vogliamo dimostrarlo$\sigma(a)\neq \sigma(b)$. Notare che$a,b\in A$implica che$a=p^{\alpha}$e$b=q^\beta$insieme a$\alpha,\beta\in\mathbb{N}$e$p,q$numeri primi dispari. Ora, da allora$a\neq b$, quindi supponiamo senza perdita di generalità che$a<b$. Abbiamo i casi:
Caso 1: Se$p=q$, quindi obbligatorio$\alpha<\beta$e$\sigma(a)< \sigma(b)$.
Caso 2: Se$p\neq q$, poi
Caso 2.1: Se$p<q$e$\alpha\le\beta$, poi$\sigma(a)< \sigma(b)$
Caso 2.2: Se$p<q$e$\beta<\alpha$, poi$\tau(b)=\beta +1<\tau(a)=\alpha+1$.
E ci fermiamo, qualcuno potrebbe darmi un'idea su come continuare il test? oppure dimmi se è falso che sigma non sia iniettivo in A?
Se ho un errore nel test, per favore fatemelo sapere.
Nota:$\tau(n)$rappresenta il numero di divisori positivi di$n$.
Grazie in anticipo.
Risposte
Penso che questa sia la prova, diamo prima un'occhiata alla seguente proposizione:
Proposizione: $I\left( p^{n}q^{m}\right) <2$per ogni$ p, q $diversi numeri primi dispari e$ n, m $interi positivi.
Dove$I$indica l'indice di abbondanza
Dimostrazione: nota che$p,q$sono numeri primi dispari diversi, quindi$(p, q)=1$implicando a sua volta$\left(p^{n}, q ^{m}\right) = 1 $per ogni$n, m \in\mathbb{N}$e poiché l'indice di abbondanza è moltiplicativo, abbiamo che \begin{eqnarray*} I\left( p^{n}q^{m}\right)=I\left( p^{n}\right)I\left (q^{m}\right)=\left(\cfrac{\sigma\left( p^{n}\right)}{p^{n}} \right) \left(\cfrac{\sigma\left ( q^{m}\right)}{q^{m}} \right) \end{eqnarray*}
Ma, \begin{eqnarray*} \cfrac{\sigma\left( p^{n}\right)}{p^{n}}&=&\cfrac{1}{p^{n}}+\cfrac {p}{p^{n}}+\punti+\cfrac{p^{n}}{p^{n}}\\ &=&\cfrac{1}{p^{n}}+\cfrac{ 1}{p^{n-1}}+\punti+1\\ &=&\sum_{k=0}^{n}\sinistra({1}/{p}\destra)^{k}= \cfrac{1-{\left( {1}/{p}\right)}^{n}}{1-{\left({1}/{p}\right)}}<\cfrac{1} {1-{\left({1}/{p}\right)}} \end{eqnarray*}
Allo stesso modo per$ q $noi abbiamo
\begin{eqnarray*}\cfrac{\sigma\left( q^{m}\right)}{q^{m}}<\cfrac{1}{1-{\left({1}/{q} \right)}}\end{eqnarray*}
D'altra parte, come$ p $e$ q $sono numeri primi dispari diversi, allora possiamo assumere senza perdita di generalità che$3\le p<q$, questo è$p\ge3$e$q\ge5$, da qui
\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{1-{\left({1}/{p}\right)}}\le\cfrac{1}{1-{\left({1}/{3 }\right)}}\quad e\quad\cfrac{1}{1-{\left({1}/{q}\right)}}\le\cfrac{1}{1-{\left({ 1}/{5}\right)}} \end{eqnarray*}
Così,
\begin{eqnarray*} I\left( p^{n}q^{m}\right)=\left(\cfrac{\sigma\left( p^{n}\right)}{p^{n} } \right) \left(\cfrac{\sigma\left( q^{m}\right)}{q^{m}} \right)&<&\left( \cfrac{1}{1-{\ sinistra({1}/{p}\destra)}}\destra)\sinistra( \cfrac{1}{1-{\sinistra({1}/{q}\destra)}}\destra) \\ & \le&\left( \cfrac{1}{1-{\left({1}/{3}\right)}}\right) \left(\cfrac{1}{1-{\left({1} /{5}\right)}}\right)=\cfrac{15}{8}<2 \end{eqnarray*}
Ora, andiamo con la dimostrazione di$σ(n)$è iniettiva nell'insieme$A=\left\lbrace n\in\mathbb{N}:\mbox{$n$ is odd and $\omega(n)=1$}\right\rbrace $
Dimostrazione: data$a,b∈A$tale che$a≠b$, quindi vogliamo dimostrarlo$σ(a)≠σ(b)$. Notare che$a,b∈A$implica che$a=p^α$e$b=q^β$insieme a$α,β∈N$e$p,q$numeri primi dispari. Ora, da$a\neq b$emergono i seguenti casi:
Caso 1: Se$p=q$, quindi obbligatoriamente$\alpha\neq\beta$e$\sigma(a)\neq\sigma(b)$.
Caso 2: Se$p\neq q$, quindi supponiamo$\sigma(a)=\sigma(b)$, di conseguenza$I\left( ab\right)=I\left( a\right)I\left( b\right)<2$, dove otteniamo \begin{eqnarray*}\left(\cfrac{\sigma\left( p^{\alpha}\right)}{p^{\alpha}} \right) \left(\cfrac{\ sigma\left( q^{\beta}\right)}{q^{\beta}} \right)<2\end{eqnarray*} o equivalentemente \begin{eqnarray*}\sigma\left( p^{\ alpha}\right) \sigma\left( q^{\beta}\right)<2p^{\alpha}q^{\beta}\end{eqnarray*} ma come$\sigma(a)=\sigma(b)$, quindi \begin{eqnarray*}\left( \sigma\left( p^{\alpha}\right)\right)^2<2p^{\alpha}q^{\beta}\end{eqnarray*} e quest'ultimo è valido per qualsiasi$ p, q $diversi numeri primi dispari tali che$\sigma(a)=\sigma(b)$e$ \alpha, \beta $interi positivi. \end{eqnarray*}
Avevo commesso un errore nel test precedente, per questo lo modifico, ringrazio @shibai per avermelo fatto notare. Il test attuale è incompleto, ma forse un indizio per il test completo.