È vero che la parola prior dovrebbe essere usata solo con variabili casuali latenti?
Io penso che qualsiasi distribuzione marginale su una variabile casuale possa essere chiamata distribuzione di probabilità a priori.
È vero?
O è falso perché la variabile casuale in esame potrebbe non essere una variabile casuale latente e il termine prior dovrebbe essere usato rigorosamente con le distribuzioni marginali solo su una variabile casuale latente?
Risposte
Il termine precedente (così come posteriore ) è solitamente riservato alle distribuzioni definite in un framework bayesiano su oggetti che non sono considerati variabili casuali da altri approcci inferenziali, vale a dire parametri . I modelli a variabili latenti sono più spesso definiti al di fuori della dicotomia bayesiana / non bayesiana e la distribuzione della variabile latente dipende generalmente dai parametri, quindi è anche condizionata alla realizzazione di questi parametri in un quadro bayesiano. Poiché è una questione di terminologia, non c'è vero o falso (o giusto o sbagliato) per chiamare una distribuzione marginale a precedente, ma questo può confondere allo stesso modo bayesiani e non bayesiani.
Prima di rispondere alla tua domanda, spieghiamo innanzitutto una mentalità bayesiana di base.
Nella statistica bayesiana, tutto è una variabile casuale, l'unica differenza tra queste variabili casuali è se sono osservate o nascoste . Dì ad esempio se credi$X$ segue una distribuzione definita da $\theta$, denota $$ X \sim P(X|\theta) $$ Dove $\theta$è il parametro della distribuzione, dal punto di vista bayesiano è anche una variabile casuale. Di solito in questo caso variabile casuale$X$ è osservato e $\theta$ non lo è e vuoi dedurre / imparare / valutare $\theta$in base alle tue osservazioni. In tali situazioni non c'è questione di "precedente", "marginale" o "posteriore"
Il termine "precedente", "marginale" o "posteriore" è importante quando credi $\theta$ segue qualche altra distribuzione $$ \theta \sim P(\theta|\gamma) $$Quindi chiamiamo questa "altra distribuzione" la precedente , più specificamente è la distribuzione piror per$\theta$. Tra tutte e tre le variabili casuali$X$, $\theta$ e $\gamma$, generalmente $X$ e $\gamma$ sono osservati, $\theta$ non lo è e vuoi stimare $\theta$ basato sull'osservato $X$ e $\gamma$. Quindi sì, il termine "precedente" di solito è su variabili casuali nascoste, ovviamente puoi credere che esista una distribuzione precedente per$\theta$anche quando viene osservato, ma di solito nessuno lo fa (perché qualcuno dovrebbe stimare qualcosa che è già osservato?). E se non puoi osservare$\gamma$, puoi anche supporre $\gamma$ segue una distribuzione definita da un'altra variabile casuale $\eta$, poi $P(\gamma | \eta)$ sarà il priore per $\gamma$. Spero che questo risponda alla tua domanda in merito a "precedente".
Parliamo ora di "marginale". Nell'esempio precedente le persone solitamente interessate alla distribuzione di$X$ (mentre $\theta$ è nascosto), dato $\gamma$, la distribuzione $$ X \sim P(X|\gamma) $$si chiama "distribuzione marginale". Il termine "marginale" deriva dal fatto che$P(X|\gamma)$ si acquisisce emarginando $\theta$ dalla distribuzione congiunta: $$ p(X|\gamma) = \int_\theta p(X|\theta)p(\theta|\gamma) $$