$\ell^1$ funtore come aggiunto sinistro al funtore della palla unitaria

Jan 07 2021

In un commento a questa risposta

https://mathoverflow.net/a/38755/1106

Yemon Choi osserva che "The $\ell^1$ funtore è il funtore spaziale di Banach libero, aggiunto a sinistra al funtore della palla unità smemorato ".

Questa affermazione è intrigante per me, ma non sono del tutto sicuro di quali categorie e funtori stia parlando qui Yemon. Immagino che da un lato abbiamo la categoria degli spazi di Banach (con quali mappe?), Ma dall'altro? Se qualcuno può inserire i dettagli qui, sarei molto contento. Inoltre, se qualcuno ha riferimenti a un testo di analisi funzionale che prende questa prospettiva, sarei felice anche con quella risposta.

Risposte

6 QiaochuYuan Jan 07 2021 at 04:04

Vuoi prendere la categoria $\text{Ban}_1$di spazi di Banach e mappe brevi (mappe lineari della norma dell'operatore$\le 1$). Il funtore della palla unitaria$U : \text{Ban}_1 \to \text{Set}$ è rappresentato da $\mathbb{C}$, e il suo aggiunto sinistro invia un set $S$ al coprodotto di $S$ copie di $\mathbb{C}$, che risulta essere $\ell^1(S)$. Questo dice che abbiamo una biiezione naturale

$$\text{Hom}_{\text{Ban}_1}(\ell^1(S), B) \cong \text{Hom}_{\text{Set}}(S, U(B))$$

che dice che una mappa da un set $S$ alla palla unitaria $U(B)$ di uno spazio di Banach si estende in modo univoco e libero su una breve mappa $\ell^1(S) \to B$, per "linearità".

Intuitivamente parlando questo dice quello $\ell^1(S)$ è ottenuto da $S$ richiedendo che ogni elemento di $S$ avere norma $1$ (in modo che sia nella palla unitaria e possa mappare a breve su qualsiasi altro elemento di qualsiasi altra palla unitaria) e poi chiedendo che una combinazione lineare $\sum c_s s$avere la norma più ampia possibile compatibile con questo (in modo che possa mappare brevemente a qualsiasi altra combinazione lineare simile in qualsiasi altro spazio di Banach). Abbiamo$ \| \sum c_s s \| \le \sum |c_s|$ dalla disuguaglianza del triangolo e dal $\ell^1$ la norma è il caso di uguaglianza di questo.

Questa costruzione generalizza alla costruzione del coprodotto in $\text{Ban}_1$, che assomiglia a questo: if $B_i$ è una raccolta di spazi Banach, il loro coprodotto in $\text{Ban}_1$ è il completamento della somma diretta dello spazio vettoriale $\bigoplus_i B_i$ con rispetto al "$\ell^1$ norma" $\sum_i \| b_i \|_{B_i}$.

Mi scuso per l'autopromozione, ma entro un po 'più in dettaglio sulle proprietà categoriche di $\text{Ban}_1$(ad esempio, è completo, co-completo e monoidale simmetrico chiuso) nel mio post sul blog Spazi di Banach (e metriche di Lawvere e categorie chiuse) . In particolare cerco di motivare l'uso di mappe brevi. Si noti che se lavoriamo solo con mappe lineari limitate, non possiamo sperare di recuperare uno spazio di Banach fino all'isometria tramite una proprietà universale, mentre gli isomorfismi in$\text{Ban}_1$sono isometriche. D'altra parte il linguaggio categoriale è ancora in grado di parlare di mappe delimitate, attraverso la struttura chiusa.

5 YemonChoi Jan 07 2021 at 04:08

Sia Bang (Ban, geometrico) la categoria i cui oggetti sono spazi di Banach e i cui morfismi sono le mappe lineari che hanno norma $\leq 1$. (Possiamo lavorare su scalari reali o complessi.) Sia Set la categoria i cui oggetti sono insiemi e i cui morfismi sono funzioni.$\newcommand{\Ball}{{\sf ball}}$

C'è un funtore $\Ball$da Bang a Set che assegna ad ogni spazio Banach la propria palla unitaria chiusa; la condizione sui morfismi di Bang garantisce che ciascuno$f:X\to Y$ in Bang si limita a una funzione $\Ball(X) \to \Ball(Y)$.

A cosa si aggiungerebbe una sinistra $\Ball$assomigliare? Possiamo usare la descrizione / caratterizzazione in termini di oggetti iniziali in categorie virgola. Quindi per ogni set$S$ vogliamo uno spazio Banach $F(S)$ e una funzione $\eta_S: S \to\Ball(F(S))$ con la seguente proprietà universale: ogni volta $E$ è uno spazio Banach e $h:S\to \Ball(E)$ è una funzione, c'è un morfismo Bang unico $T: F(S)\to \Ball(E)$ tale che $\Ball(T)\circ\eta_S=f$ come funzioni.

Svelare le definizioni dei vari morfismi: quello di cui abbiamo bisogno è quello per qualsiasi funzione $h$ a partire dal $S$ per $E$ soddisfacente $\Vert h(j)\Vert \leq 1$ per tutti $j\in S$, dovrebbe esserci un'unica mappa lineare $T: F(S) \to E$ tale che $\Vert T(v)\Vert \leq \Vert v\Vert$ per tutti $v\in F(S)$ e $T(\eta_S(j))=h(j)$ per tutti $j\in S$.

Dopo aver provato a motivare le cose, facciamo l' Ansatz . Definire$F(S)$ essere lo spazio Banach $\ell_1(S)$ con la sua solita norma $\Vert\quad\Vert_1$; permettere$(e_j)_{j\in S}$ denotano la base canonica bectors in $\ell_1(S)$. L'unico possibile candidato per la mappa lineare$T:\ell_1(S) \to E$ è: definire $T(e_j):= h(j)$ per ciascuno $j$e si estendono per linearità e continuità. Per vedere che funziona, osservalo per qualsiasi$v=\sum_{j\in S} \lambda_j e_j \in \ell_1(S)$ noi abbiamo

$$ \Vert \sum_{j\in S} \lambda_j h(j) \Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \Vert h(j)\Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \sup_{j\in S} \Vert h(j)\Vert \leq \Vert v \vert_1 $$

Riassumendo: essenzialmente ciò che l'argomento sopra dice è che una mappa lineare delimitata da $\ell_1(S)$ in uno spazio Banach $E$ definisce una funzione limitata $S\to E$e che viceversa ogni funzione limitata $S\to E$ ha un'estensione lineare limitata unica $\ell_1(S)\to E$. (Si noti che questo paragrafo, che è affermato nel linguaggio dell'analista piuttosto che nel linguaggio categorico, è un po 'più generale perché non sto richiedendo che tutto abbia una norma$\leq 1$; ma limitare a Bang sembra essenziale se si vuole ottenere una bella affermazione di questo fatto-analisi nel linguaggio delle aggiunte.)

In realtà possiamo andare oltre e dire che l'aggiunzione è isomorfismo $Set(S, \Ball(E)) \cong {\rm Bang}(\ell_1(S),E)$, che a priori è solo una biiezione di insiemi che si comporta naturalmente, può essere arricchito con un isomorfismo in Bang: $\ell_\infty(S;E) \cong {\mathcal B}(\ell_1(S),E)$.