Entropia max-relativa tra uno stato ei suoi marginali
Sfondo
L'entropia relativa quantistica è definita per tutti gli stati quantistici$\rho, \sigma$come
$$D(\rho\|\sigma) = tr(\rho\log\rho) - tr(\rho\log\sigma)$$
Per scelta arbitraria di$\rho,\sigma$, l'entropia quantistica relativa può assumere qualsiasi valore non negativo. Considera uno stato bipartito$\rho_{AB}$e siano i suoi marginali$\rho_A$e$\rho_B$. Se consideriamo$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, abbiamo le informazioni reciproche. Inoltre, abbiamo quello
$$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B) \leq \min(2\log|A|, 2\log|B|)$$
Domanda
L'analogo one-shot dell'entropia relativa è l'entropia massima relativa ed è definita come
$$D_{\max}(\rho \| \sigma)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb{R}: 2^{\lambda} \sigma \geq \rho\right\},$$
dove$A\geq B$è usato per denotare questo$A-B$è semidefinito positivo. Come l'ordinaria entropia relativa, anche l'entropia massima relativa può assumere qualsiasi valore non negativo. Se ora considero$D_{\max}(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, esiste un limite superiore al valore massimo che può assumere?
Credo che la risposta sia sì poiché il caso di$+\infty$è escluso a causa del supporto di$\rho_{AB}$essere contenuto nel supporto di$\rho_A\otimes\rho_B$ma non sono riuscito a trovare un limite.
Risposte
$\renewcommand{ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}$Uno stato che satura il legame di mutua informazione è$$\rho_{AB} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \ket{a_i}\ket{b_i} $$dove$N = \min(|A|,|B|)$e$\{\ket{a_i}\}, \{\ket{b_i}\}$sono basi per$A,B$, rispettivamente. Intuitivamente, questo stato massimizza l'entropia dei marginali pur mantenendo$A$e$B$perfettamente correlati.
Questo stato dà$I_{\max} = \log_2(N)$. Non ho dimostrato che questo sia un limite superiore, ma sembra un buon punto di partenza.