Equazioni differenziali elementari, Boyce, sezione 2.2, esercizio 19 (Equazioni separabili)

Aug 17 2020

L'esercizio consiste nel risolvere il problema del valore iniziale:

$$\sin{(2x)}\mathrm dx+\cos(3y)\mathrm dy = 0$$ $$y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi3$$

Noi abbiamo$\cfrac{-\cos{(2x)}}{2}+\cfrac{\sin{(3y)}}{3}=K$, e da$y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi3$concludiamo che$$\cfrac{-\cos{(\pi)}}{2}+\cfrac{\sin{(\pi)}}{3}=K \Rightarrow K = \cfrac{1}{2}\text.$$Quindi:$$\cfrac{\sin{(3y)}}{3}=\cfrac{1}{2}+\cfrac{\cos{(2x)}}{2}=\cos^2{x} \implies \sin{(3y)}=3\cos^2{x}$$.

Perché la soluzione è$y=\cfrac{\pi-\arcsin{\left(3\cos^2{x}\right)}}{3}$e non semplicemente$y=\cfrac{\arcsin{\left(3\cos^2{x}\right)}}{3}$? Che cosa sto facendo di sbagliato?

Ringrazierei qualsiasi aiuto.

Risposte

1 Noname Aug 17 2020 at 09:09

$\sin(3y)=3\cos^2(x) \Rightarrow y= \dfrac{ \text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$

Quando lo fai, lo presumi$\sin(3y)$è invertibile in un intorno di$\frac{ \pi}{2}$. Ma in ogni palla aperta centrata$\frac{ \pi}{2}$esistono punti$a< \frac{ \pi}{2}< b$tale che$\sin(3y(a))=\sin(3y(b))$a causa della piazza in$cos(x)$. Pertanto devi stare attento quando scegli il dominio della tua soluzione.

La soluzione$y= \dfrac{ \pi - \text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$è valido quando$x \in [0, \dfrac{ \pi}{2} ]$mentre$y= \dfrac{\text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$è valido quando$x \in [\dfrac{ \pi}{2}, \pi ]$.