Esattezza di sequenza e localizzazione

Question

Supponiamo $A$ è un file finitamente generato $\mathbb{Z}$-algebra e $R$ è un file finitamente generato $A$-algebra. Abbiamo una sequenza di finitamente generata$R$-moduli \begin{align*} \mathbb{F}:M_1\rightarrow M_2\rightarrow M_3 \end{align*} tale che il composto delle mappe nella sequenza sia zero (non esatto) e lo sappiamo $\mathbb{F}\otimes \mathrm{Frac}(A)$, dove $\mathrm{Frac}(A)$ è il campo frazione di $A$, è esatto a $M_2\otimes\mathrm{Frac}(A)$. Allora segue quello$\mathbb{F}\otimes A_a$ è esatto a $M_2\otimes A_a$ per alcuni diversi da zero $a\in A$?

Answer 1

$\newcommand{\im}{\mathrm{im}}$

Con le condizioni aggiunte, questo diventa vero (presumo che la notazione $\mathrm{Frac}(A)$ assume $A$ è un dominio integrale).

Considera l'inclusione $\im\subset \ker$. $A_a\otimes \im \subset A_a\otimes \ker$ è ancora un'inclusione, come $A_a$ è piatto, quindi dobbiamo solo dimostrare che diventa un'uguaglianza per alcuni $a$.

Ma nota che questa inclusione è ancora $R$-lineare (anche se stiamo tendendo $A$). Quindi, se la LHS contiene generatori della RHS, l'inclusione è un'uguaglianza.

$\ker$ è finitamente generato ($R$ è noetheriano, poiché è finitamente generato $\mathbb Z$, e $M_2$è finitamente generato da ipotesi, quindi lo è qualsiasi sottomodulo); quindi lascia$x_1,...,x_n$ denotano un insieme di generatori.

$\mathrm{Frac}(A) \otimes \im \to \mathrm{Frac}(A)\otimes \ker$ è il colimit diretto del $A_a\otimes \im\to A_a\otimes \ker$.

Quindi lascia $y_1,...,y_n\in A_a\otimes \im$ essere elementi che diventano antecedenti di $x_1,...,x_n$ sotto $A_a\otimes \im \to \mathrm{Frac}(A)\otimes \im$.

Ne consegue che le immagini di $y_1,...,y_n$ in $A_a\otimes \ker$ identificarsi con $x_1,...,x_n$ in $\mathrm{Frac}(A)\otimes \ker$. Poiché ce ne sono solo un numero limitato, si identificano con$x_1,...,x_n$ in qualche $A_b\otimes\ker$ per alcuni $b$ divisibile per $a$, e così $A_b\otimes \im\to A_b\otimes \ker$ è $R$-lineare e la sua immagine contiene $x_1,...,x_n$, quindi abbiamo finito.

Answer 2

La risposta è no senza ulteriori ipotesi.

Anzi, prendi $A=R=\mathbb Z$, $M_1 = M_2 = \mathbb Q, M_3 = \mathbb{Q/Z}$, la sequenza $\mathbb F$ è $id_\mathbb Q$ seguito dalla proiezione canonica.

Chiaramente non è esatto in $M_2$ ($id_\mathbb Q$ è suriettiva, ma la proiezione canonica non lo è $0$), allo stesso modo se esegui il tensore con $\mathbb Z[\frac 1 n]$ per ogni $n$.

Tuttavia, se lo tendi con $\mathbb Q$, ottieni $\mathbb{Q\to Q}\to 0$ che è davvero esatto.

Se vuoi una sequenza in cui si trova il composito $0$, puoi farlo anche tu:

$\mathbb Z \overset{(1,0)}\to \mathbb{Q\oplus Q}\overset{(0,1)}\to \mathbb Q$.

Il composito è ovviamente $0$, se lo tendi con $\mathbb Q$, ottieni una breve sequenza esatta divisa; tuttavia se lo tendi con$\mathbb Z[\frac 1 n]$ non sarà ancora esatto ($\ker/\mathrm{im} = \mathbb Q/\mathbb Z[\frac 1 n]$)