Esempio di una funzione con una proprietà curiosa

Question

Denota da $L^1(0,1)$ lo spazio delle funzioni integrabili di Lebesgue sull'intervallo $(0,1)$.

$\textbf{Question:}$ Esiste una funzione $F:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$ tale che:

1. $\frac{F(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
2. $\frac{F'(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
3. $\frac{F(x)}{x^2}\notin L^1(0,1)$?

Immagino che la risposta sia positiva e che il punto sia costruire $F$ tale che $F$ e $F'$comportarsi adeguatamente vicino allo zero. Sembra abbastanza delicato. L'ho controllato$F$ non può essere un polinomio o una funzione di potenza (da allora $F'\simeq \frac{F}x$, quindi le condizioni 2 e 3 non possono essere mantenute contemporaneamente).

Apprezzerei qualsiasi suggerimento!

Answer 1

Non esiste una tale funzione. Prima di tutto,$|F(a)-F(b)|\leqslant \int_a^b |F'(x)|dx\to 0$ quando $a,b\to 0$. Così$F$ ha un limite $c$ al punto 0. Se $c\ne 0$, quindi 1) fallisce. Così$\lim_{x\to 0} F(x)=0$.

Il prossimo, $$|F(a)|\leqslant \int_{0}^a|F'(x)|dx\leqslant a\int_{0}^a\frac{|F'(x)|}x dx=o(a),\quad\text{when}\quad a\to 0.\quad (1)$$ Adesso $$ \int_a^b \frac{F(x)}{x^2}dx=\frac{F(a)}a-\frac{F(b)}b+\int_a^b \frac{F'(x)}xdx. \quad(2) $$ Considera due casi:

1. $F$ ha un segno fisso vicino allo 0. Quindi scegliere $a,b$ vicino a 0 concludiamo da (1) e (2) che $\int \frac{F(x)}{x^2}dx$ converge a 0, ma questo è equivalente alla convergenza di $\int \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ di cui abbiamo bisogno.

2. $F$ ha infiniti zeri in qualsiasi intorno di 0. Quindi scegliere $(a_k,b_k)$ essendo intervalli massimi di inclusione dell'insieme aperto $\{x:F(x)\ne 0\}$ e applicando (2) per $a=a_k,b=b_k$ ci siamo legati $\int_0^c \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ attraverso $\int_0^c \frac{|F'(x)|}{x}dx$. Qui$c=b_1$, per esempio.