Esiste un modo diverso di suddividere i numeri in cifre?
Stavo guardando un grafico che visualizzava la costante di Eulero-Mascheroni ($\gamma$), come quella di seguito, ed è emersa una domanda interessante.
Background: La costante di Eulero-Mascheroni, per prendere la definizione direttamente dalla pagina di Wikipedia sopra collegata, è la differenza limitante tra la serie armonica e il logaritmo naturale . Fondamentalmente, il "logaritmo naturale dell'infinito" (non così rigoroso), o$\lim_{x \to \infty} \ln(x)$, è infinita, così come la serie armonica, o $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$. Ma se sottrai questo logaritmo naturale infinito dalla serie armonica, ottieni un numero finito intorno$0.57721$, chiamata costante di Eulero-Mascheroni.
Domanda: poiché la serie armonica è una funzione graduale ,$\gamma$ è la somma dei "contributi" da infinite sezioni, mostrati di seguito come la prima copertura viola della sezione $x \in [1, 2)$, copertura della seconda sezione viola $x \in [2, 3)$, il terzo rivestimento $x \in [3, 4)$, eccetera.

Mi è venuto in mente che questo è abbastanza simile alla nozione di un numero come somma delle sue cifre, come il numero 123 espresso come segue:

Potrebbe essere davvero utile poter esprimere, operare e ragionare su un numero con ogni "cifra" che rappresenta un termine diverso di una serie, oltre l'unica serie canonica in cui attualmente esprimiamo tutti i numeri:
$$\textrm{number}=\textrm{digit}_1*\textrm{base}^{n-1}\ +\ \textrm{digit}_2*\textrm{base}^{n-2}\ +\ \textrm{digit}_3*\textrm{base}^{n-3}\ +\ ...\ +\ \textrm{digit}_n*\textrm{base}^0$$
TL; DR: Esiste un'area di studio all'interno della matematica che generalizza la nozione di "cifre di un numero", consentendo loro di essere definite da qualcosa di diverso dalle serie direttamente sopra, e con le proprie regole e operazioni per manipolarle un numero? Quali sono le sue regole e operazioni?
Risposte
Sembra che potresti essere interessato a Frazioni continue. Ogni numero ha una rappresentazione di frazione continua univoca. Allo stesso modo, ogni frazione continua rappresenta la sequenza delle migliori approssimazioni razionali a qualsiasi numero. Le frazioni continue sono di dimensione finita se e solo se sono razionali. Le radici quadrate stanno ripetendo frazioni continue.
Le frazioni continue possono essere usate per determinare "quanto" sia razionale una data approssimazione. Ad esempio, in vari algoritmi di approssimazione per la ricerca della radice, se si prende il decimale numerico e lo si scrive come frazione continua, si dovrebbe ottenere un numero elevato (indeterminazione) visualizzato su una delle cifre. Questo identifica molto rapidamente che la soluzione numerica sta convergendo a un razionale.
Ci sono anche molti altri esempi del loro utilizzo.
Potresti essere interessato a $p$numeri -adici dove per esempio$\ldots999 = -1$. (Generalmente$p$ è un primo, però.)