Esiste un modo standard per equipaggiare una sigma-algebra con una sigma-algebra?

Question

Supponiamo $(X, \mathcal X)$è uno spazio misurabile. Vorrei dire qualcosa sulle funzioni misurabili che assumono valori$\mathcal X$, ma per farlo ho bisogno di $\mathcal X$ essere dotato di una sigma-algebra.

C'è un modo canonico di equipaggiare $\mathcal X$ con una sigma-algebra $\mathcal F_\mathcal X$ in modo che possiamo parlare di funzioni misurabili da $(X, \mathcal X)$ per $(\mathcal X, \mathcal F_\mathcal X)$?

Alcune idee che mi sono venute in mente:

(1) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X\}$. Ma non vedo che questo sia chiuso tra i complementi.

(2) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X \ \text{or} \ \bigcap A \in \mathcal X\}$. Ma non vedo che questo sia chiuso da unioni numerabili.

Answer 1

Per quanto ne so, non esiste un approccio standard per costruire una struttura così misurabile.

Avevamo bisogno di qualcosa del genere per alcuni lavori che generalizzassero i processi decisionali markoviani (visti dal punto di vista dell'informatica) con "non determinismo". Puoi controllare il riferimento su arXiv ( DOI ).

La definizione che ha fatto il lavoro per noi era dichiarare alcuni un sottoinsieme di $\mathcal{X}$ misurabile se è in $\sigma$-algebra $H(\mathcal{X})$ generato dagli insiemi $H_\xi := \{\theta\in \mathcal{X} : \theta \cap \xi \neq \varnothing\}$, dove $\xi$ varia $\mathcal{X}$. Ciò è principalmente motivato dalla costruzione dell'iperspazio misurabile di sottoinsiemi chiusi di uno spazio topologico.

In realtà, limitandosi a un sottoinsieme appropriato di $\mathcal{X}$ sembra più sensato, visto il risultato $\sigma$-algebra è enorme: se ricordo bene, una volta $X$ è infinito e $\mathcal{X}$ separa i punti, quindi $H(\mathcal{X})$ non può essere generato in modo numerabile.