Esiste una misura di probabilità assolutamente continua su ogni spazio di misura?

Question

Permettere $(\Omega,\mathcal F,\mu)$ essere uno spazio di misura arbitrario, dove $\mu$ è diverso da zero ma non è necessario che lo sia $\sigma$-finito o semifinito. Esiste necessariamente una misura di probabilità$P$ sopra $(\Omega,\mathcal F)$ tale che $P$ è assolutamente continuo rispetto a $\mu$?

Answer 1

Se non ci sono $\mu-$insiemi finiti, la risposta è no. Altrimenti, prendi qualsiasi set$X\in \mathcal F$ st $\mu(X)<\infty $. Quindi, definisci per tutti$A\in \mathcal F$, $$\mathbb P(A):=\frac{\mu(X\cap A)}{\mu(X)}=\int_A\frac{\boldsymbol 1_{X}(x)}{\mu(X)}\mu(\mathrm d x).$$ Ovviamente, $\mathbb P$ è una misura di probabilità su $\Omega $ che è assolutamente continuo rispetto a $\mu$.