Esiste uno strumento matematico specifico o un campo di matematica utile per studiare o creare una prova di irrazionalità?

Aug 18 2020

Sembra che, in generale, l'irrazionalità o le prove trascendentali di qualche costante "difficile", come $e,\pi$ o $e^\pi$, si basa sulla dimostrazione della presenza di un numero intero in $(0,1)$. Ma sembra che non ci sia un modo coerente per raggiungere questa contraddizione.

Una sorta di prova coerente dell'irrazionalità (l'unica forse) è l'uso di "Beukers Integrals" che può essere utilizzato per dimostrare che questi numeri seguenti sono irrazionali: $\ln 2, e, \pi^2, \zeta(2),\zeta(3) $. Fondamentalmente, devi costruire un integrale$I_n$, tale che, $I_n = (a_n\xi+b_n)/d_n$, dove $a_n,b_n,d_n$ sono numeri interi e $d_nI_n \to 0$ come $n$diventa più grande, mostrando così un numero intero compreso tra zero e uno. Tuttavia, penso che questo metodo sia stato munto a morte e abbia raggiunto i suoi limiti.

Dimostrazione di apery per$\zeta(3)$utilizza una serie convergente veloce per questo. Ma sembra che questa prova sia "isolata", nel senso che non può essere replicata ad un'altra costante. Sembra che tutte le prove di irrazionalità siano "isolate" in questo senso. Mancano tutti somiglianze, ad eccezione del metodo Beukers menzionato.

Esiste uno strumento matematico specifico o un campo di matematica utile per studiare o creare una prova di irrazionalità?

Ad esempio, questo articolo include alcuni risultati generali e particolari nella teoria dei numeri trascendentale con alcune prove.

Risposte

1 DietrichBurde Aug 18 2020 at 16:59

Certamente molte aree promettono di trovare una prova, per esempio, la congettura che $\zeta(3),\zeta(5),\zeta(7),\ldots$sono tutti irrazionali. In particolare, potrebbero essere utili metodi teorici numerici combinati con metodi combinatori (metodi asintotici). Ciò è supportato dalla dimostrazione di Zudilin , che ha mostrato il seguente risultato con questi metodi:

Proposizione: uno dei numeri$ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11)$ è irrazionale.

Ha anche una prova molto elementare per un risultato più debole qui .