Estensione degli stati

Question

Permettere$X$sia uno spazio di Hausdorff localmente compatto e$Y$è un sottospazio compatto di$X$. Permettere$\phi$essere uno stato attivo$C(Y)$. Allora possiamo estendere a$\phi$a$C_0(X)$? Supponiamo se$T:f \mapsto f|_X$è l'omomorfismo da$C_0(X)$a$C(Y)$, allora sarà la mappa$\tilde{\phi}=\phi\circ T$essere uno stato attivo$C_0(X)$?

Answer 1

Ok, quindi penso che sia vero. Come da mio commento, dobbiamo solo verificare che questo funzionale abbia norma 1. La positività è a sua volta equivalente a$\lim_\lambda \tilde{\phi}(e_\lambda) = \|\tilde{\phi}\|$per qualche (o qualsiasi) unità approssimativa$(e_\lambda)$per$C_0(X)$. Quindi, per risolvere questo problema, troviamo un'unità approssimativa$(e_\lambda)$che soddisfa$\lim_\lambda \tilde{\phi}(e_\lambda) = 1$.

Proprio come nell'articolo di wikipedia per le C*-algebre (https://en.wikipedia.org/wiki/C*-algebra#Commutative_C*-algebras), esiste un'unità approssimativa$(f_K)$, indicizzato da sottoinsiemi compatti$K \subseteq X$per cui$f_K|K = 1$(Tietze estensione/link nei commenti). Con questa idea in mente, non è difficile costruire una rete$(f_K)$, indicizzato da sottoinsiemi compatti$K \subseteq X$che contengono$Y$, tale che$f_K|_K = 1$. Questa è la nostra unità approssimativa desiderata:$$ \lim_K \tilde{\phi}(f_K) = \lim_K \phi \circ T(f_K) = \lim_K \phi(f_K|_Y) = \lim_K 1 = 1. $$