Fa l'integrazione per parti formula $\int f'g = - \int fg'$ è vero per funzioni continue e supportate in modo compatto di variazione limitata?

Question

Assumilo $f:\mathbb R \to \mathbb C$ è una funzione continua di variazione limitata con supporto in $[-T,T]$. Lo sappiamo$f$è differenziabili quasi ovunque. Inoltre, lascia$g \in C^\infty(\mathbb R)$essere limitato. Fa l'integrazione per parti formula$$ \int f'(x)g(x) \,dx = -\int f(x)g'(x) \, dx $$ valere?

Answer 1

Permettere $T > 1$ e lascia $f = \chi_{[0,1]}$ essere la funzione caratteristica di $[0,1]$. Poi$$ \int_{-T}^T f g' = \int_0^1 g' = g(1) - g(0). $$ D'altra parte, da allora $f' = 0$ ae, $$ \int_{-T}^T f' g = 0. $$

Se capiamo $f'$ come derivato misurato $Df$ di una funzione BV, quindi $Df = \delta_0 - \delta_{-1}$, e $$ \int_{-T}^T g\, Df = g(0) - g(1), $$ che coincide con $-\int_{-T}^T f g'$.