Fa una funzione espressa come una serie di Taylor differenziabile e/o continua nell'intervallo di convergenza

Question

Supponiamo che f(x) sia una funzione infinitamente differenziabile in un intorno di$0$, e che il raggio di convergenza della sua serie di Taylor attorno a$0$,$\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$, è 8.

Significa questo$f(x)$è continua e/o differenziabile a$(-8,8)?$e perché?

Answer 1

No non lo fa. Ad esempio, posso prendere qualsiasi serie di potenze$\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$con raggio di convergenza$8$, quindi definire

$$\begin{align*}f:&\mathbb R\to\mathbb R\\ &x\mapsto\begin{cases}\sum_{k=0}^\infty a_k x^k&x\in(-1,1)\\0&\textrm{otherwise.}\end{cases}\end{align*}$$

Lo sviluppo di Taylor di questa funzione intorno$0$è solo la serie di potenze data, ma concorda solo con la serie di potenze all'interno dell'intervallo$(-1,1)$, anche se la serie di potenze ha un raggio di convergenza maggiore. Ma se$f$in realtà è d'accordo con la sua serie Taylor su$(-8,8)$, in altre parole, è analitico, allora sì, sarà differenziabile (anche infinitamente spesso) sull'intero intervallo. Ma l'analiticità è una condizione molto forte, quindi non puoi sempre assumerla.

Answer 2

Relazione tra dato$f$funzione e la sua serie di Taylor possono essere ingannevoli. È un esempio famoso$$f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}}, & x \ne 0 \\ 0, & x=0 \end{cases} $$con cui è infinitamente differenziabile$f^{(n)}(0)=0, \forall n \in \mathbb{N}$. La serie Taylor$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = 0$converge su tutto$\mathbb{R}$, cioè il suo raggio di convergenza è$R=\infty$ma coincide con la funzione solo all'origine. Ora possiamo prendere qualche funzione$g$che uguale$f$solo all'origine è un quartiere, ma può essere di qualsiasi tipo all'esterno, ad esempio non continuo.

Quindi è utile avere condizione necessaria e sufficiente per dato$\boldsymbol{f}$ funzione rappresentabile dalla sua serie di Taylor sull'intervallo di convergenza$(-R,R)$, dove$R$è il raggio di convergenza. Uno sta seguendo:

Resto di Taylor in forma Maclaurin$R_{n+1}=\left( \frac{x-a}{x-\xi} \right)^p\frac{(x-\xi)^{n+1}}{n!p}f^{(n+1)}(\xi)$su un dato intervallo tende a$0$, dove$p>0$,$\xi$fra$x$e$a$.