Famiglia di funzioni con $f(0) = 0$ e $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$ è normale
Ho la seguente domanda
Permettere $B$ essere l'insieme delle funzioni $f$, che sono analitici sul disco dell'unità $\mathbb{D}$ e soddisfare entrambi $f(0) = 0$ e $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$. Prova che$B$ è una famiglia normale.
Ci sono un paio di parti della mia risposta di cui non sono sicuro.
Considera la famiglia tradotta $g(z) = f(z) - 1$ che assume valori $\mathbb{C} - [0,1]$. Da$g(\mathbb{D})$ è semplicemente connesso e diverso da zero, possiamo definire rami analitici a valore singolo di $\sqrt{g(z)}$ in $g(\mathbb{D})$. Dopo aver preso una radice quadrata, tutti i valori di$\sqrt{g(z)}$sono contenuti in un semipiano dove la linea che separa i semipiani contiene l'origine. Quindi, dopo una possibile rotazione, possiamo assumerlo$\sqrt{g(\mathbb{D}})$è contenuto nel semipiano sinistro. Ora posso applicare le tecniche usate in questa risposta$\mathcal{F} \subset \mathcal{H}(D(0,1))$ con $Re f>0$ e $f(0)=1$è una famiglia normale per mostrare che la famiglia tradotta (da qui$B$) è una famiglia normale.
Una cosa di cui non sono sicuro è se posso dire che tutti i valori di $\sqrt{g(z)}$sono contenuti in un semipiano dove la linea che separa i semipiani contiene l'origine. Sembra vero, ma non ne sono sicuro. Inoltre, non sto usando tutta la forza del fatto$f(\mathbb{D}) \cap [1,2] =\emptyset$ come ho davvero bisogno solo $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \emptyset$.
Eventuali commenti o suggerimenti sarebbero molto apprezzati.
Risposte
La tua idea non funziona del tutto e che non hai utilizzato il presupposto che un intervallo non degenere è stato lasciato fuori dall'intervallo dovrebbe servire come segnale di avvertimento (ma ovviamente nonèuna prova di per sé che l'argomento non può funzionare ).
Per vederlo $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \varnothing$ non implica la normalità della famiglia considera le funzioni $$f_k(z) = 1 - e^{kz}$$ per $k \in \mathbb{N}$. abbiamo$f_k(\mathbb{C}) \cap \{1\} = \varnothing$ per tutti $k$, e $f_k(0) = 1 - 1 = 0$. Ma$f_k(z)$ converge localmente in modo uniforme a $\infty$ nel semipiano destro, e converge localmente uniformemente a $1$nel semipiano sinistro. La sequenza non converge localmente in modo uniforme in nessun punto dell'asse immaginario.
Il primo errore nel tuo argomento è l'affermazione che $g(\mathbb{D})$è semplicemente connesso. Non è necessario, considera ad esempio$$g(z) = -\exp \biggl(\frac{1 + z}{1-z} - 1\biggr)\,,$$ dove $g(\mathbb{D})$ è il complemento (nel piano) di un piccolo disco intorno $0$. La semplice connessione di$\mathbb{D}$ garantisce l'esistenza di una radice quadrata olomorfa $\sqrt{g(z)}$, ma l'immagine può ancora essere tutta $\mathbb{C}\setminus \{0\}$.
Ma l'idea di base di utilizzare la radice quadrata per ottenere una famiglia di funzioni olomorfe con un'immagine contenuta in un semipiano funziona, deve solo essere eseguita in modo leggermente diverso.
Considera la trasformazione di Möbius $$T \colon w \mapsto 2\cdot\frac{w-1}{w-2}\,.$$ Questo mappa l'intervallo chiuso $[1,2]$ per $[-\infty, 0]$, e $T(0) = 1$.
Usando questo, possiamo considerare la famiglia $$\tilde{B} = \Biggl\{ z \mapsto \sqrt{2\cdot \frac{f(z) - 1}{f(z) - 2}} : f \in B\Biggr\}$$ dove viene utilizzato il ramo principale della radice quadrata.
Adesso, $\tilde{B}$è solo la famiglia considerata nella domanda collegata, quindi sappiamo che è una famiglia normale. Quindi resta da dedurre la normalità di$B$da quello. (Se$(h_k)$ è quindi una successione localmente uniformemente convergente $(F\circ h_k)$ è anche localmente uniformemente convergente in condizioni miti su $F$.)