Fuga dall'aereo
Una domenica mattina, ti svegli e ti ritrovi completamente solo su un piano infinito e piatto. Non ricordi molto della sera prima, a parte il fatto che potresti aver fatto incazzare un mago. Accanto a te, trovi una tavolozza con colori numerabili infiniti e una nota, che ti comanda così:
Devi dipingere ogni punto su questo piano, in modo tale che non riuscirò mai a trovare un triangolo con vertici dello stesso colore e area razionale.
Se riesci a gestire questo compito, il mago ti lascerà libero - fallisci e sarai intrappolato per sempre. Non dubiti delle capacità del mago, quindi niente trucchi economici qui. Considerando il problema, ti metti al lavoro - e un tempo infinitamente infinito dopo, il mago è accanto a te, ammirando la tua opera.
Il mago ti rende libero?
EDIT: per eliminare le risposte del pensiero laterale basate sull'inquadratura della domanda, ecco una dichiarazione matematica formale del puzzle:
Esiste una colorazione di$\mathbb{R}^2$tale che è impossibile trovare un triangolo con vertici dello stesso colore e area razionale?
Risposte
Supercompito molto interessante.
In un piano 2D, tre punti non lineari qualsiasi formano un triangolo, quindi usa solo 2 punti di ciascun colore. Poiché hai infiniti colori, non finirai mai i colori. Tuttavia, questo non ci salverà dalla nostra fine, poiché questo compito richiederebbe un tempo incalcolabile, lasciandoci bloccati sull'aereo. Quindi, dobbiamo affrontare questo come un supertask. Dipingi il primo punto in 1 minuto, dipingi il secondo nella metà del tempo, dipingi il terzo nella metà del secondo, ecc. aereo!
Modificare:
La soluzione di cui sopra si imbatte nel problema che si esauriscono i colori perché c'è un numero infinitamente infinito di punti su$\mathbb{R}^2$e c'è un numero numerabile infinito di colori. Posso avvicinarmi un po' aumentando il mio numero di colori. Invece di pensare ai colori come alle discrete macchie di vernice che mi ha dato il mago, considererò ora la lunghezza d'onda della luce che il pigmento riflette (ignorando totalmente il modo in cui funziona la miscelazione della vernice qui). Ora, in ogni fase del supercompito, mescola i colori in modo da ottenere un nuovo colore (ad esempio, nel passaggio 1 usi la vernice con$700nm$, nel passaggio 2 usi paint with$700.\bar01nm$, eccetera.). Ora hai un numero infinitamente infinito di colori di vernice. Tuttavia, mi sento come se il piano fosse pieno di infiniti punti bidimensionali$\mathbb{R}^2$, mentre ho solo vernici con$\mathbb{R}>0$, quindi non ho ancora abbastanza colori.
Sicuramente questo è semplice
Hai un'infinità di colori, quindi usi ogni colore solo una volta. Non hai specificato se i 'punti' sono veri punti. Se sono veri punti su un piano, allora non hanno dimensione quindi non puoi dipingerli. Non è possibile utilizzare nemmeno 1 molecola di vernice.
o
Se riesci a gestire questo compito, il mago ti lascerà libero - fallisci e sarai intrappolato per sempre.
Dato che l'attività richiederà un'eternità, sei intrappolato per sempre a svolgere l'attività, no il mago non ti libererà.
o
Dipingi linee rette monocolore parallele infinitamente lunghe. Non ci saranno triangoli con tre vertici dello stesso colore.