Funzione caratteristica di $Z=X-Y$, dove $X$ e $Y$ segue Po ( $\lambda$) e dimostrarlo $E[Z^2]=2\lambda$

Question

$\lambda$è un numero reale positivo. Due variabili casuali$X$ e $Y$ sono indipendenti tra loro e seguono la distribuzione di Poisson con la media $\lambda$.

Definiamo $Z = X-Y$.

Devo ottenere una funzione caratteristica di $Z$, $\varphi=E[e^{itZ}]$ e dimostrarlo $E[Z^2]=2\lambda$.

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Quello che ho provato

Ho scoperto che la distribuzione di Poisson ha proprietà riproduttive quindi un parametro di $Z$, $\lambda'$ è $\lambda-\lambda=0$.

Quindi ho una funzione caratteristica di $$ \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{itz_i}}{z_i!}=e^{it}$$

Ma questo non darà alcuna funzione con $\lambda$ quando voglio avere un momento di $Z$.

Dove ho sbagliato?

Answer 1

Non è vero $X-Y$ ha distribuzione di Poisson con parametro $\lambda -\lambda$. Ovviamente$X-Y$ accetta anche valori interi negativi, quindi non può avere una distribuzione di Poisson.

$Ee^{itX}=\sum e^{-\lambda} \frac {\lambda^{n} e^{itn}} {n!}=e^{-\lambda} e^{\lambda e^{it}}=e^{-\lambda (1-e^{it})}$.

Quindi $$Ee^{it(X-Y)}=|Ee^{itX}|^{2}=e^{-2\lambda (1-cos ( t))}$$.

Trovare $EZ^{2}$ differenziarlo due volte, metti $t=0$ e moltiplicare per $-1$.