Funzione di probabilità per la differenza tra due iid Exponential rvs
La mia risposta è completamente sbagliata. Puoi dirmi dove è andata storta la mia logica.
Donald Trump e Tori Black si incontreranno in un momento specifico ed entrambi arriveranno in ritardo $ \sim Exponential(\lambda), i.i.d. $. Qual è il cdf della differenza di orario di arrivo.
Permettere $ X, Y$ sia l'ora tarda e sia la differenza $Z = X - Y$. I casi lo sono$z \geq 0$ e $z < 0 $.
Primo, per $ z \geq 0$,
$ F_Z(z) = P(Z\leq z) = P(X-Y \leq z) = 1 - P(X-Y > z) = 1 - P(X>Z+Y)$
Z $\geq 0$, così $X \geq 0 $ per tutti $Y$.
$$\begin{align} F_Z(z) & = 1 - \int_0^\infty(\int_{z+y}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx) dy \\& = 1 - \int_0^\infty(\int_{z+y}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx) dy \\& = 1 - \int_0^\infty\lambda e^{-\lambda y}(-e^{-\lambda x}|_{z+y}^\infty) dy \\& = 1 - \int_0^\infty\lambda e^{-2\lambda y}e^{-\lambda z}dy \\& = 1 - e^{-\lambda z}\int_0^\infty \lambda e^{-2\lambda y} \\& = 1 - \frac{1}{2}e^{-\lambda z}\end{align}$$
Ora, per $z < 0$, dove il mio calcolo è andato molto male .
Allo stesso modo, $F_Z(z) = 1 - P(X-Y > z) = 1 - P(X>Z+Y) $
$Z < 0$, così per $X \geq 0$, $Y$ dovrebbe essere $Y \geq -Z$, faccio così:
$$\begin{align}F_Z(z) & = 1 - \int_{-z}^\infty(\int_{z+y}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx) dy \\& = 1- \int_{-z}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot e^{-\lambda (z+y)}dy \\& = 1 - e^{- \lambda z}\int_{-z}^\infty \lambda e^{-2\lambda y}dy \\& = 1 - e^{-\lambda z}\cdot \frac{1}{2}e ^{2\lambda z} \\& = 1 - \frac{1}{2}e^{\lambda z}.\end{align}$$
Quindi, le mie risposte per entrambi i casi sono le stesse tranne il $z$ cartello.
I CDF corretti sono forniti nel libro di testo come
$F_Z(z) = 1 - \frac{1}{2}e^{-\lambda z}$ per $z\geq 0$ e $\frac{1}{2}e^{\lambda z}$ per $z<0$.
Ho dimenticato di integrare $Y$ al di sopra di $\int_0^{-z}$ per $z<0$, che se incluso fornisce la risposta del libro di testo.
Risposte
I tuoi limiti integrali non sono corretti. Se disegni la regione di integrazione, sarà nel primo quadrante ea destra della linea$X-Y=z$. Sarà più facile integrare se l'ordine di integrazione è$dy dx$. Altrimenti, dovresti calcolare due intervalli diversi:$0\leq y \leq -z$ e $-z<y<\infty$. Nel tuo integrale, calcoli solo il secondo intervallo.
$$\begin{align}P(X>z+Y)&=\int_0^\infty \int_0^{x-z}\lambda e^{-\lambda x}\lambda e^{-\lambda y}dydx\\&=\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}(1-e^{-\lambda(x-z)})dx\\&=1-e^{\lambda z}\int_0^\infty \lambda e^{-2\lambda x}dx\\&=1-e^{\lambda z}/2\end{align}$$
Questo produce $F_Z(z)=e^{\lambda z}/2$
Non risponderò alla domanda del PO su dove sia la sua analisi per il caso $z<0$ è andato storto ma indica invece un modo più semplice per ottenere la risposta corretta una volta che il valore di $F_Z(z)$ è stato determinato a esserlo $1-\frac 12 \exp(-\lambda z)$ quando $z > 0$.
Da $X$ e $Y$sono variabili casuali iid, la densità di$Z = X-Y$ deve essere uguale alla densità di $-Z = Y-X$, cioè, la densità deve essere una funzione uniforme . Una conseguenza di ciò è quella$P(Z>\alpha) = P(Z<-\alpha)$ e così otteniamo immediatamente \begin{align} P(Z > z) &= \frac 12 \exp(-\lambda z), &z > 0,\\ &{\big \Downarrow}\\ P(Z < -z) &= \frac 12 \exp(-\lambda z), &z > 0,\\ &{\big \Downarrow}\\ P(Z < z) &= \frac 12 \exp(\lambda z), &z < 0,\\ \end{align} e così, $$F_Z(z) = P(Z \leq z) = P(Z < z) = \frac 12 \exp(\lambda z), \,\,\,\ z < 0.$$
In effetti, questo problema può essere risolto senza calcolare alcun integrale se si parte dalla consapevolezza che la distribuzione esponenziale è l' unica distribuzione continua che non ha memoria. Ciò significa che se una variabile casuale$X\sim\text{Expon}(\lambda)$ poi anche $X-a|X>a\sim\text{Expon}(\lambda)$ per ogni $a>0$. In altre parole, se$X$è il tempo fino all'arrivo di Donald Trump e non è arrivato dopo, diciamo, 10 minuti, quindi il tempo fino all'arrivo oltre quei 10 minuti viene anche distribuito come$X$. Questo può sembrare controintuitivo ma è facile da dimostrare.
Ora se $X,Y$ sono iid $\text{Expon}(\lambda)$ e l'orario di arrivo rispettivamente di Paperino e Tori, quindi Paperino sarà il primo ad arrivare con probabilità 0,5: $\text{Prob}(Y>X)=0.5$. Ancora più importante in questo caso, tuttavia, la proprietà senza memoria di$Y$ ce lo dice $Y-X|Y>X \sim\text{Expon}(\lambda)$ qualunque sia il valore di $X$ e quindi $-Z|Y>X$ è $\text{Expon}(\lambda)$. Allo stesso modo, se Tori arriva prima, con probabilità$\text{Prob}[X>Y]=0.5$, poi $Z|X>Y$ è anche $\text{Expon}(\lambda)$. Unendo i due casi si ottiene il risultato simmetrico per$F_Z(z)$ che è stato ottenuto prima.
Ho chiesto il cdf ma se fosse per il pdf .
Per $z\geq 0, 0\leq z\leq x <\infty$, $$\begin{align} f_Z(z) &= \int_z^\infty f_X(x)\cdot f_y(x-z)dx \\ & = \lambda^2 e^{\lambda z}\int_z^\infty e^{-2\lambda x}dx \\ &= \frac{\lambda}{2}e^{-\lambda z} \end{align}$$
Per $z<0, z< 0\leq x <\infty$, $$\begin{align} f_Z(z) &= \int_0^\infty f_X(x)\cdot f_y(x-z)dx \\ & = \lambda^2 e^{\lambda z}\int_0^\infty e^{-2\lambda x}dx \\ &= \frac{\lambda}{2}e^{\lambda z} \end{align}$$