Funzioni di densità di massa: com'è la densità di massa nei punti?
Discutiamo spesso di densità di massa, densità di carica e altre funzioni simili: $\rho(x,y)$ per piatti ultrasottili e $\rho(x,y,z)$per oggetti 3-d. Le unità per l'uscita di queste funzioni dicono massa o carica / volume unitario come$\frac{kg}{m^3}$ o $\frac{C}{m^3}$. Non riesco a comprendere una densità in un singolo punto.
Ho il sospetto che quando diciamo massa per unità di volume "in un punto", intendiamo la massa contenuta nel volume immediatamente intorno al punto. Qui, diciamo "immediatamente intorno" in senso matematico in modo che il volume si avvicini allo zero. In questo modo l'insieme di tutti i punti insieme è ancora l'oggetto completo.
È corretto? O ho mancato il bersaglio?
Risposte
Quando diciamo che la densità di massa è $\rho(x,y,z)$, intendiamo che la massa all'interno di qualsiasi regione finita $R$ è dato da $$ M(R) = \int_R \rho(x,y,z)\ dx\,dy\,dz. $$ In altre parole, specificando la densità di massa $\rho(x,y,z)$ è un modo conciso di descrivere la funzione che prende una regione $R$ come input e restituisce la massa $M(R)$ in quella regione come output.
La Regione $R$può essere arbitrariamente piccolo, quindi la tua intuizione è sulla strada giusta. Se prendiamo$R$per essere un punto , poi la massa$M(R)$ è zero, non importa quanto grande possa essere la densità di massa (fintanto che è finita).
La sostanza (che costituisce la massa) è discreta. Abbiamo molecole, atomi, particelle più piccole, ecc ...
Ci sono indizi che anche lo spazio stesso sia discreto (vedere la lunghezza di Planck), ma non lo sappiamo con certezza.
Poi di nuovo, a volte (quasi sempre, infatti) è utile approssimare la sostanza come liscia e omogenea su scale sufficientemente piccole e utilizzare l'intero calcolo aparato che abbiamo a disposizione che utilizza numeri reali.
È così che la densità diventa un campo scalare.
Fondamentalmente, hai ragione. La massa contenuta in un punto (quando si parla di materiali continui) è zero.
Tuttavia, possiamo effettivamente prendere una piccola quantità di lunghezza, area o volume, matematicamente descritti come$dx$, $dA$, o $dV$ avvicinandosi allo zero. Questi sono chiamati elementi di lunghezza, area o volume. Per trovare l'intera massa è necessario sommare tutti i prodotti di tutte le densità di massa infinitamente piccole con gli elementi di lunghezza, area o volume in tutti i punti della massa nel caso 1, 2 o 3d. Questa somma diventa parte integrante dei prodotti delle densità$\rho$ con i tre diversi elementi (assumendo $\rho$ è indipendente dalla posizione in $x$, $A$, o $V$):
$$m_{tot}=\int _x\rho dx,$$
per una messa su una linea,
$$m_{tot}=\int _A\rho dA,$$
per una massa su una superficie, e
$$m_{tot}=\int _V\rho dV,$$
per una messa in un volume.
Se la densità di massa dipende dalla posizione nella massa, è sufficiente sostituire $\rho$ di $\rho (x)$, $\rho (A)$, e $\rho (V)$.
La densità di massa in un punto è definita in due modi:
- il limite della densità di massa media in un volume contenente il punto quando il volume scende a zero, e
- come un campo integrato per dare massa.
Capire come e quando queste due definizioni sono la stessa cosa richiede una teoria della misura: in quel momento impari come non sono la stessa cosa.
Esempio di come sono la stessa cosa. Supponiamo che la densità di massa (campo) sia una costante$1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$in ogni punto preso in considerazione. Permettere$x$essere un tale punto. Calcoliamo il limite delle densità medie dei volumi sferici (per semplicità) per le sfere centrate su$x$. Permettere$r$ essere il raggio in $\mathrm{cm}$. Il volume,$V$e massa, $m$, siamo \begin{align*} V(r) &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\ m(r) &= \int_{-r}^{r} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2}} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}} 1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z \\ &= \frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \text{.} \end{align*}
(Le unità esplicite potrebbero far sembrare questa massa una densità. Ricorda che "$r$" in "$r^3$"ha unità di distanza che annullano le unità di distanza nel denominatore delle unità esplicite.)
Quindi la densità di massa a $x$ è $\lim_{r \rightarrow 0} \frac{\frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 1 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$. Si noti che noi dobbiamo prendere il limite$r \rightarrow 0$. Non possiamo valutare il rapporto tra massa e volume a$r = 0$poiché ciò implica la divisione per zero. Ora un grafico della funzione di cui stiamo prendendo un limite. Dalla cancellazione algebrica (ammissibile sotto il limite, ma non fuori da questo limite), ci aspettiamo di vedere una funzione costante.
Il punto $(0,1)$è omesso, perché la divisione per zero non è definita. Per scoprire il valore lì, usiamo un limite. Si noti che se il campo di densità variava (piccole fluttuazioni intorno a una densità media e / o una tendenza a densità superiori o inferiori lontano da$x$) vedremmo queste variazioni nella curva. Questo modello molto semplice non ha tali caratteristiche.
Aggiungerò un altro punto di vista, dal momento che la domanda sembra solo qualcosa di molto avanzato o che si presenta solo in quell'area della fisica: quello che stai chiedendo è esattamente simile al paradosso della freccia di Zenone:https://en.wikipedia.org/wiki/Zeno's_paradoxes#Arrow_paradox
Fondamentalmente, sono sicuro che hai familiarità con i derivati, ma non sono intuitivi se applicati a quantità arbitrarie. Certamente possiamo parlare di velocità media su una certa durata ∆ t , e ragion per cui restringendo la durata ad un singolo istante di tempo, otteniamo la velocità istantanea in un dato momento - una quantità utile che sappiamo essere ben definita.
"Ma per avere una velocità, dovresti viaggiare, e non puoi viaggiare se il tempo non passa!" Sì, è lo stesso problema con il non esserci una densità intuitiva "istantanea" (dm / dV) se guardi un punto di massa, ma comunque lavoriamo con le derivate e funzionano. :)