Funzioni generatrici di momenti di due variabili casuali

Question

Permettere $X$ e $Y$ essere variabile casuale indipendente con rispettiva funzione generatrice di momento

$M_x(t) = \frac{(8+e^t)^2}{81} $ e $M_y(t) = \frac{(1+3e^t)^3}{64} , -\infty<t<\infty $

Poi $ P(X+Y = 1) $equivale

So che usando la funzione di generazione del momento possiamo trovare la probabilità

$M_x(t) = P(X=0)e^{t*0} + P(X=1)e^{t*1}.....P(X=n)e^{t*n}$

Confrontando questo mgf possiamo ottenere la particolare probabilità. Ma come facciamo questa domanda?

Answer 1

Suggerimento: $X$ e $Y$sono variabili casuali con valori interi non negativi. Quindi$$P(X+Y=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)$$ $$=P(X=1)P(Y=0)+P(X=0)P(Y=1).$$ Ora nota quello $M_X(t)=\frac {64+16e^{t}+e^{2t}} {81}$. Da$Ee^{tX}=\sum e^{nt}P(X=n)$ Lo vediamo $P(X=0)$ e $P(X=1)$ sono i coefficienti di $e^{0t}$ e $e^{t}$. Puoi finire?

Answer 2

È noto che se $X\sim Bin(n,p)$ poi $MGF_X(t)=(1-p+pe^t)^n$. Così$X\sim Bin(2,\tfrac{1}{9})$ e $Y\sim Bin(3, \tfrac{3}{4})$. Da qui,$\Pr(X+Y=1)=\Pr(X=0,Y=1)+\Pr(X=1,Y=0)$ e si lascia sostituire tutti i numeri nella formula per la distribuzione binomiale.