Generalizzare i campi a più di due operazioni: queste definizioni sono equivalenti?
Vedere la domanda precedente Può un "campo generalizzato" con tre operazioni essere infinito?
Abbiamo un set $S$, e $n$ operazioni $\times_0,\times_1,\times_2,\cdots,\times_{n-1}$ sopra $S$. Ogni operazione$\times_k$ è commutativo, è associativo, ha un'identità $e_k\in S$, e distribuisce sull'operazione precedente $\times_{k-1}$. Inoltre, le identità sono tutte distinte. Denota$S_k=S\setminus\{e_0,e_1,e_2,\cdots,e_{k-1}\}$ (capendolo $S_0=S$, eccetera.). L'intera struttura è chiamata un$n$-field se ha altre proprietà.
Date le proprietà di cui sopra, (alcune combinazioni di) le seguenti ulteriori proprietà sono equivalenti?
$(1)$ Ogni $\times_k$ è invertibile nel senso che, per qualsiasi $a\in S_k$, lì esiste $b\in S$ tale che $a\times_kb=e_k$.
$(2)$ Ogni $\times_k$ è invertibile nel senso che, per qualsiasi $a\in S_k$, lì esiste $b\in S_k$ tale che $a\times_kb=e_k$.
$(3)$Ogni identità è nulla rispetto alle operazioni superiori; per ogni$k<l$ e qualsiasi $a\in S_k$, $e_k\times_la=e_k$.
$(4)$ Ricorsivamente, entrambe le strutture $(S_0,\times_0,\times_1,\cdots,\times_{n-2},e_0,e_1,\cdots,e_{n-2})$ e $(S_1,\times_1,\times_2,\cdots,\times_{n-1},e_1,e_2,\cdots,e_{n-1})$ siamo $(n-1)$-fields. (E a$1$-field è un gruppo abeliano.)
$(5)$ Tutti $(n-1)$ delle strutture $(S_k,\times_k,\times_{k+1},e_k,e_{k+1})$sono campi. (O se$n=1$ la struttura è un gruppo abeliano.)
Chiaramente $(2)$ implica $(1)$, e $(1)$ e $(3)$ insieme implicano $(2)$. Idealmente, voglio$(1)$ solo per implicare tutti gli altri.
Provare $(4)$ per la seconda struttura (la prima è facile), avremmo solo bisogno di mostrarlo $S_1$ è chiuso sotto $\times_1,\times_2,\cdots,\times_{n-1}$; cioè, se$a\neq e_0\neq b$, poi $a\times_kb\neq e_0$. Ma questo segue da$(3)$ e invertibilità.
La mia domanda collegata lo dimostra $(1)$ implica gli altri nel caso $n=3$, e mostra che no $n$-field esiste per $n>4$ a condizione che sia vero per $n=4$. Quindi concentriamoci su$4$-fields e assume la proprietà $(1)$.
Sappiamo che la sottostruttura $(S_0,\times_0,\times_1,\times_2,e_0,e_1,e_2)$ è un $3$-campo, il che implica, per tutti $a\in S$,
$$e_0\times_0a=e_1\times_1a=e_2\times_2a=a,$$
$$e_0\times_1a=e_0\times_2a=e_0,$$
$$a\neq e_0\implies e_1\times_2a=e_1.$$
Le ultime due righe sono proprietà $(3)$per questa sottostruttura. Completare$(3)$, dobbiamo considerare l'operazione finale $\times_3$:
$$e_0\times_3a\overset?=e_0,$$
$$a\neq e_0\overset?\implies e_1\times_3a=e_1,$$
$$e_0\neq a\neq e_1\overset?\implies e_2\times_3a=e_2.$$
Per l'ultimo, definitivo $x=e_2\times_3a$ e usando le leggi algebriche date,
$$e_2\times_3a=(e_2\times_2e_2)\times_3a=(e_2\times_3a)\times_2(e_2\times_3a),$$
Lo vediamo $x=x\times_2x$è la sua piazza. Se$x\in S_2$ (significa che non lo è $e_0$ o $e_1$), allora è $\times_2$-invertibile e dividendo dà $e_2=x$. Se invece$x=e_0$ o $e_1$, poi
$$a=a\times_3e_3=a\times_3(e_3\times_2e_2)=(a\times_3e_3)\times_2(a\times_3e_2)=a\times_2x,$$
così otteniamo $a=a\times_2e_0=e_0$, o $a=a\times_2e_1=e_1$, una contraddizione. Perciò$x=e_2\times_3a=e_2$.
In effetti possiamo dimostrarlo $(2)$ a partire dal $(1)$, almeno nel caso $n=4$. Lo sappiamo già$\times_0,\times_1,\times_2$ sono invertibili nei rispettivi spazi $S_0,S_1,S_2$. Resta da considerare$a\in S_3$: é suo $\times_3$-inverso $b$ anche in $S_3$? Supponiamo al contrario che$b=e_0$, $e_1$, o $e_2$. Quindi, dalle proprietà note di$3$-campi, $b=b\times_2b$, e quindi
$$e_3=a\times_3b=a\times_3(b\times_2b)=(a\times_3b)\times_2(a\times_3b)=e_3\times_2e_3;$$
ma $e_3\in S_2$è invertibile; dividendo dà$e_2=e_3$, una contraddizione. Quindi dobbiamo avere$b\in S_3$.
Risposte
Dalla discussione verso la fine della domanda collegata, il file $\times_1\times_2$ la struttura deve essere un campo con caratteristica no $2$; questo è,$e_2\times_1e_2\neq e_1$. Così la$\times_1$-inverso di $e_2$ (chiamiamolo $x$) non è $e_2$si. Anche
$$e_2\times_1x=e_1,$$
$$e_2\times_1e_1=e_2\neq e_1,\quad e_2\times_1e_0=e_0\neq e_1,$$
il che lo dimostra $x$ non è $e_1$ o $e_0$. Questo ci lascia con$x\in S_3$.
Da $(-1)\cdot(-1)=1$ in qualsiasi campo, abbiamo $x\times_2x=e_2$:
$$e_2=x\times_2x=(x\times_3e_3)\times_2(x\times_3e_3)=x\times_3(e_3\times_2e_3).$$
Permettere $y$ essere il $\times_3$-inverso di $x$. È stato mostrato nell'OP che$y$ deve essere dentro $S_3$ (che è un sottoinsieme di $S_2$) e che qualsiasi cosa in $S_2$ è assorbito da $e_2\times_3y=e_2$. Moltiplicando l'equazione precedente per$y$, lo troviamo
$$e_2\times_3y=x\times_3y\times_3(e_3\times_2e_3)=e_3\times_3(e_3\times_2e_3)$$
$$e_2=e_3\times_2e_3.$$
Consideriamo ora un elemento arbitrario $a\in S_2$:
$$a\times_2a=(a\times_3e_3)\times_2(a\times_3e_3)=a\times_3(e_3\times_2e_3)=a\times_3e_2=e_2.$$
In qualsiasi campo, l'equazione $a\cdot a=1$ ha solo due soluzioni, $a=\pm1$; questo è,$a=e_2$ o $a=x$. Perciò,$S$ deve avere esattamente $4$elementi. (In particolare,$x=y=e_3$.)
Dal momento che qualsiasi $n$-field è anche un file $k$-campo per qualsiasi $k<n$ (ignora semplicemente le operazioni $\times_k,\cdots,\times_{n-1}$), ne consegue che non esistono $n$-campi per $n>4$.
Ma c'è una strana sorpresa nel caso $n=|S|=4$: la struttura non è unica, anzi $(1)$ non implica $(3),(4),(5)$.
$$\begin{array}{c|cccc}\times_0&e_0&e_1&e_2&e_3\\\hline e_0&e_0&e_1&e_2&e_3\\e_1&e_1&e_0&e_3&e_2\\e_2&e_2&e_3&e_0&e_1\\e_3&e_3&e_2&e_1&e_0\end{array}\qquad\begin{array}{c|cccc}\times_1&e_0&e_1&e_2&e_3\\\hline e_0&e_0&e_0&e_0&e_0\\e_1&e_0&e_1&e_2&e_3\\e_2&e_0&e_2&e_3&e_1\\e_3&e_0&e_3&e_1&e_2\end{array}$$
$$\begin{array}{c|cccc}\times_2&e_0&e_1&e_2&e_3\\\hline e_0&e_0&e_0&e_0&e_0\\e_1&e_0&e_1&e_1&e_1\\e_2&e_0&e_1&e_2&e_3\\e_3&e_0&e_1&e_3&e_2\end{array}\qquad\begin{array}{c|cccc}\times_3&e_0&e_1&e_2&e_3\\\hline e_0&e_0&e_0&e_0&e_0\\e_1&e_0&\mathbf{e_0}&e_1&e_1\\e_2&e_0&e_1&e_2&e_2\\e_3&e_0&e_1&e_2&e_3\end{array}$$